Tengo 2 Ejercicios.

1º) Calcular el area del casquete esférico

\[ x^2+y^2+z^2 =36\quad z\geq 3\]


2º) Calcular el flujo del campo: \[f(x,y,z)=( y, 2x^2, yz) \] a través de la sup: \[y=9-x^2\] con \[0\leq z\leq y\]
indicando su sentido


Muchas gracias!

Hola, para el primero, aplicamos la definicion \[A=\iint_\sigma||g'_u\times g'_v||d\sigma\]

parametrizando la esfera como

\[g:R^2\rightarrow R^3/g(w,\theta)=(6\cos w\cos\theta,6\cos w\sin\theta,6\sin\theta)\]

haciendo el producto vectorial entre los vectores elementales, y calculando los límites de integración, obtenemos la integral

\[A=\int_{0}^{2\pi}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}36\cos w dw d\theta=36\pi\]

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El segundo podes usar la definición \[\varphi=\iint_\sigma f(g(u,v))\hat n d\sigma\]

parametrizamos la superficie como

\[g:R^2\rightarrow R^3/g(x,z)=(x,9-x^2,z)\]

calculamos los vectores elementales y obtenemos la normal \[\hat n=(g'_u\times g'_v)=(-2x,-1,0)\]

aplicando la definición y haciendo las cuentas obtenemos que

\[\varphi=\int_{-3}^{3}\int_{0}^{9-x^2}(2x^3-2x^2-18x)dzdx=-\frac{648}{5}\]