Hola gente. Pongo otro ejercicio que no me sale y que es el 9. j de la seccion de integrales por fracciones simples. Este dice:

\[\int \frac{x^{4}}{1-x^{10}}dx\]

Lo unico que se me ocurrio fue expresar el denominador como:

\[(x-1)^{5}(x+1)^{5}\]

Pero ademas de hacerse muy largo el ejercicio, me parece que ni eso esta bien.

Alguien tiene idea de como hacerlo?

Un abrazo.

suponiendo que eso que planteaste en el denominador está correcto, la integral sería algo así


\[\int \frac{x^{4}}{1-x^{10}}\] = \[\int \frac{A}{(x-1)^{5}}\] + \[\int \frac{B}{(x-1)^{4}}\] + \[\int \frac{C}{(x-1)^{3}}\] + \[\int \frac{D}{(x-1)^{2}}\] + \[\int \frac{E}{(x-1)^{}}\] + \[\int \frac{F}{(x+1)^{5}}\] + \[\int \frac{G}{(x+1)^{4}}\] + \[\int \frac{H}{(x+1)^{3}}\] + \[\int \frac{I}{(x+1)^{2}}\] + \[\int \frac{J}{(x+1)^{}}\]


Despues calculas todos los valores de la forma tradicional de las fracciones simples

(No te lo hago porque es muy largo y mucha fiaca)

Igual si de algo sirve

\[1-x^{10}\] = \[(1-x^{5})(1+x^{5})\]
Igual ahora que lo pienso podes hacer un paso previo antes de resolver que es una sustitución

Planteas:

u=\[x^{5}\]
du=\[5x^{4}\]
\[\frac{du}{5}\]= \[x^{4}\]


Por lo que la integral quedaría

\[\frac{1}{5}\int \frac{1}{1-u^{2}}du\]

Que eso es igual a

\[\frac{1}{5}\int \frac{1}{(1-u)(1+u)}du\]


Y esa es una fraccion simple tradicional

(08-10-2012 18:27)Maartin escribió:  suponiendo que eso que planteaste en el denominador está correcto, la integral sería algo así


\[\int \frac{x^{4}}{1-x^{10}}\] = \[\int \frac{A}{(x-1)^{5}}\] + \[\int \frac{B}{(x-1)^{4}}\] + \[\int \frac{C}{(x-1)^{3}}\] + \[\int \frac{D}{(x-1)^{2}}\] + \[\int \frac{E}{(x-1)^{}}\] + \[\int \frac{F}{(x+1)^{5}}\] + \[\int \frac{G}{(x+1)^{4}}\] + \[\int \frac{H}{(x+1)^{3}}\] + \[\int \frac{I}{(x+1)^{2}}\] + \[\int \frac{J}{(x+1)^{}}\]


Despues calculas todos los valores de la forma tradicional de las fracciones simples

(No te lo hago porque es muy largo y mucha fiaca)

Igual si de algo sirve

\[1-x^{10}\] = \[(1-x^{5})(1+x^{5})\]
Igual ahora que lo pienso podes hacer un paso previo antes de resolver que es una sustitución

Planteas:

u=\[x^{5}\]
du=\[5x^{4}\]
\[\frac{du}{5}\]= \[x^{4}\]


Por lo que la integral quedaría

\[\frac{1}{5}\int \frac{1}{1-u^{2}}du\]

Que eso es igual a

\[\frac{1}{5}\int \frac{1}{(1-u)(1+u)}du\]


Y esa es una fraccion simple tradicional

Eso era exactament elo que tenia idea (lo pude en mi post original). No te parece poco ortodoxo? jaaja

JAjaja si.

Igual como te puse recien 1-x^10 es (1-x^5)*(1+x^5) Y ahi sale una integral mas sencilla

(08-10-2012 20:24)Maartin escribió:  JAjaja si.

Igual como te puse recien 1-x^10 es (1-x^5)*(1+x^5) Y ahi sale una integral mas sencilla

Lo intente hacer asi tambien pero ni lo pude hacer.

Como te quedo a vos?

Abrazo!

Yo llegue a que la integral es


\[\frac{1}{10}ln|1-x^{^{5}}| + \frac{1}{10}ln|1+x^{^{5}}|\]

Lo estuve haciendo y me quedo algo así (muy parecido a lo tuyo Martin igual xD)

\[\frac{1}{10}\left \lceil ln \left | -x^5 - 1 \right | + ln \left | x^5-1 \right |\right \rceil\]

Fijate en fotocopiadora que están los resueltados de esta guía, faltan un par de la última unidad nomás.