Hola!!! puede ser que la respuesta del ejercicio 13-b) del TP1 este mal??

yo llego a: \[2y^{2}+x^{2}=2y\]

Saludos

si pones el enunciado es mas simple ayudarte

"Sea J la familia de curvas tales que su recta normal en cada punto es tangente a la parabola \[y=Kx^{2}\] que pasa por dicho punto. Halle la curva \[C\epsilon J\] que pasa por (0,1)"

Lo que hice fue sacar \[{y}'=\frac{2y}{x}\] (1)
Entonces como la recta normal es tangente a la parabola: \[y-yo=-\frac{1}{{y}'}(x-xo)\] (2)

Reemplazando (1) en (2) y el punto (0,1) me queda lo que dije antes

Buenas!.

Te dicen que tenes una familia de curvas J, tales que su recta normal en cada punto es tangente a una parábola que te dan como dato. La idea es relacionar las ecuaciones de las rectas normales a tu familia J y la tangente a tu parábola, para formar la ecuación diferencial. Primero trabajemos con la parábola.

Como bien dice el enunciado, las rectas normales de J son tangentes a la parábola, es decir que está involucrada la derivada de la misma, la cual sera:

\[y`=2Kx\]

Para trabajar con la ED, necesitamos deshacernos de la constante. Despejamos de la ecuación original:

\[K = \frac{y}{x^2}\]

Y ahora volvemos a la derivada:

\[y` = 2Kx\]

\[y` = 2\frac{y}{x^2}x = 2\frac{y}{x}\]


Ahora trabajemos con J. Nos dijeron en el enunciado que sus rectas normales en cada punto son tangentes a la parábola, nos piden hallar la familia de curvas ortogonales. Para esto igualamos:

\[-\frac{1}{y`_{J}} = y`_{parabola}\]

\[-\frac{1}{y`} = 2\frac{y}{x}\]

Usando notación de leibniz:

\[-\frac{dx}{dy} = 2\frac{y}{x}\]

\[-\frac{xdx}{2} = ydy\]

Integrando nos queda:

\[-\frac{x^2}{4}+C = \frac{y^2}{2}\]


Como nos piden hallar la solucion que pasa por (0,1), reemplazando queda que:

\[C = \frac{1}{2}\]

Volviendo a la SG:

\[-\frac{x^2}{4}+\frac{1}{2} = \frac{y^2}{2}\]

Multiplicamos por 2:

\[-\frac{x^2}{2}+1 = y^2\]

durasno acá lo tenés: http://www.utnianos.com.ar/foro/tema-an%...-1-ej-13-b

también hay más ejercicios de la guía resueltos acá: http://www.utnianos.com.ar/foro/tema-an%...-gu%C3%ADa