Hola a todos. Tengo una duda con el tema de ecuaciones lineales de congruencia. Por ejemplo, para la ecuación

\[3x \equiv 7(11)\]

El apunte dice que hay que buscar la solución en el conjunto \[Z_{11}\]. ¿Por qué es eso?

Muchas gracias!

Por definición de congruencia :
\[a\equiv b \, (m)\: \Leftrightarrow m|a-b\]
Tenemos que :
\[3x-7=11y\]
Siendo la solución general
\[x=6+11p\: ,p\in \mathbb{Z}\]
Pero, debido a que te pide que la solución este en \[\mathbb{Z}_{11}\] el valor de x esta comprendido entre 0 y 10, siendo entonces x=6 la solución buscada.

Respecto a \[\mathbb{Z}_{11}\] se refiere a que como la congruencia modulo n es una relación de equivalencia, genera una partición sobre el conjunto de enteros. En este caso se va a particionar dependiendo de los restos que dejen los numeros enteros al ser divididos por 11. Como en la solucion general se tenia x = 6 +11p, podemos ver que en \[\mathbb{Z}_{11}\] esta se reduce a 6 ya que el termino 11p es congruente a 0 en modulo 11 y 6 es congruente a 6 en modulo 11.
Espero no haberme equivocado, tengo que repasar este tema, pero creo que esta bien porque las cuentas dan xD. Cualquier duda no dudes en preguntar.