Bueno el ejercicio 2 del libro trata de demostrar que para todo x se demuestra la desigualdad.

Dice: \[4+4\sin x-\cos ^{2}x \geq 0\]

Llegue a esto: \[\sin ^2x+4 \sin x+3 \geq 0\]

Es facil darse cuenta que nunca va a ser negativo porque el sen x devuelve entre (-1, 1) y por lo tanto si sen x > 0 no pasa nada porque es todo positivo y si sen x = -1 la ecuacion da 0.

La duda que tengo es como demostrar esto de una forma mas analitica, sin tener que probar que pasa cuando es negativo o positivo. No se si me explico.

Gracias

Lo que podes hacer es ver que valores toma cada termino de la desigualdad y combinar todos:

\[-1 \leq \sin x \leq 1 \Rightarrow -4 \leq 4\sin x \leq 4-1 \leq \cos x \leq 1 \Rightarrow 0 \leq -\cos^2 x \leq 1\]
(no importa que al multiplicar \[\cos^2\] por -1 se de vuelta la desigualdad, te sigue quedando entre 0 y 1)

Sumando miembro a miembro todo mas el 4:

\[4 - 4 + 0 \leq 4 + 4\sin x - \cos^2 x \leq 4 + 1 + 40 \leq 4 + 4\sin x - \cos^2 x \leq 9\therefore 4 + 4\sin x - \cos^2 x \geq 0\]

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Lo que dedujo el sr. esta bien, y la desigualdad tambien se cumple:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin...+-+cos^2+x
http://www.wolframalpha.com/input/?i=4+%...+-+cos^2+x

Ah mira que loco eso, no se me habria ocurrido
Muchas gracias por la respuesta, es justo lo que buscaba

Saludos

Ojo con este metodo, que nunca miente pero a veces no te sirve para encontrar lo que buscas...por ejemplo, si lo hubieras tratado de hacer con \[\sin ^2x+4 \sin x+3 \geq 0\] como planteaste ahi, no te habria salido (quedaba \[-1 \leq \sin^2 x + 4\sin x + 3 \leq 8\] que no es falso, pero no sirve).

Gracias por el dato, lo voy a tener en cuenta.

(24-02-2011 21:44)rld escribió:  Ojo con este metodo, que nunca miente pero a veces no te sirve para encontrar lo que buscas...por ejemplo, si lo hubieras tratado de hacer con \[\sin ^2x+4 \sin x+3 \geq 0\] como planteaste ahi, no te habria salido (quedaba \[-1 \leq \sin^2 x + 4\sin x + 3 \leq 8\] que no es falso, pero no sirve).

estás seguro? si = => ambas tienen que respetar la misma igualdad...o son iguales y son las dos mayores a 0, o no son iguales...

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si X vale -90, te queda 1-4+3, con qué valor de x valdría -1?

Si te digo \[3 \geq 2\], es verdad...tambien es verdad que \[3 \geq 0\], \[3 \geq -10\]. y que \[-999 \leq 3 \leq 999\]...a lo que voy es que no necesariamente vas a encontrar la minima cota inferior para ese intervalo (infimo), solamente vas a encontrar una, que no necesariamente es la que te sirve para el problema en cuestion. Solo porque diga "menor o igual" no significa que necesariamente tiene que ser igual...tambien podrias haber llegado a esto y sigue siendo verdadero:

\[-99 \leq \sin x \leq 99\]

No se si me explico...