Buenas tardes,

Estaba practicando para el final de am1 y me surgio la siguiente duda: en un ejercicio me piden que diga si la funcion es derivable en un punto, por lo que planteo la derivada por definicion. Mi duda es si al hacer eso es valido aplicar L'Hospital. Me resulta medio redundante hacerlo, ya que a la larga siempre estaria haciendo la derivada y luego reemplazar a x por el valor que me pidan.
Si tengo:

\[\lim_{x->c} \frac{f(x)-f( c)}{x - c}\]

el f( c) siempre es una constante, la derivada del denominador siempre es 1... por lo que no estaria aplicando correctamente la derivada por definicion.

Me gustaria si alguien me pudiese aclarar esto ya que me esta confundiendo bastante ese tema.

Muchas gracias!

Jaja si, es recontra redundante si haces eso, porque estas aplicando derivada por regla (L'Hopital) para calcular una derivada por definición
Igual, que sea redundante no significa que este mal (en mi humilde opinión), pero si te piden hacerlo en un parcial, yo, por las dudas, lo haría "bien". Por ejemplo:

Hallar la derivada de x^2 por definición


\[f'(x)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} =\lim_{x\rightarrow a}\frac{x^{2}-a^{2}}{x-a}=\]
\[\lim_{x\rightarrow a}\frac{(x-a)(x+a)}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}(x+a)=2a = 2x\]

(fijate que usé diferencia de cuadrados para poder simplificar)

Claroo yo pienso igual que vos! trato de no hacerlo, pero si la derivada en el punto existe, a la larga termina siendo igual lo que digo yo.... se va de logica. Es como demostrar lagrange usando lagrange... no le veo el sentido, por eso quiero que me expliquen porque si se podria hacer, ya que como decis vos es muy redundante que se pueda usar.

No entiendo la consulta, en mi opinión no deberías usarla porque la regla de L'Hopital es

Wikipedia escribió:Sean f y g dos funciones continuas definidas en el intervalo [a,b], derivables en (a,b) y sea c perteneciente a (a,b) tal que f©=g©=0 y g'(x)≠0 si x≠c.

Si existe el límite L de f'/g' en c, entonces existe el límite de f/g (en c) y es igual a L. Por lo tanto,

\[\lim_{x \to c}{f(x)\over g(x)} = \lim_{x \to c}{f'(x) \over g'(x)} = L\]

Y el ejercicio te pide analizar la derivabilidad, me parece que no es correcto demostrar que una función es derivable (al usar L'Hopital además, estás asumiendo que es derivable) derivándola (y obteniendo las derivadas por tabla).

Exacto, eso es lo que pienso yo, pero algunos me dicen que se puede y me confunde bastante. Aca me tope con un ejercicio donde tengo ln(x+1)/x con x tendiendo a 0, como se salva ese tipo de indeterminaciones? cuando hay ln no se me ocurre otra que hacer L'Hospital.

La idea es llevar por algun cambio de variables a un integral conocida, si googleas el limite hay varios que lo resuelven paso a paso sin usar L'Hopital...

Si te piden que lo hagas por definición justamente te están pidiendo que no lo hagas por L'hopital.

Cuando hay un logaritmo natural lo podés trabajar de modo que te quede el número e.

e = (x+1)^1/x cuando x tiende a 0 y e = (1+1/x)^x cuando x tiende a infinito.

Genial me terminaron de convencer que no se puede aplicar L'Hospital en definicion, yo estaba bastante convencido pero otra persona me puso muy en duda y recurri a esto.

Y cuando tengo el limite que escribi arriba con ln x / x con x -> 0, como paso al numer e? No termino de entender esos pasajes. Y el cambio de variable como seria exactamente? Lo entiendo en sustitucion en integrales, pero para derivar me marea.

Muchas gracias!

Deberias usar esta formula:
\[\lim_{h->0} \frac {f(x+h)-f(x)}{h}\]

Por ejemplo para el caso de lnx seria
\[\lim_{h->0} \frac {ln(x+h)-ln(x)}{h}\]
\[\lim_{h->0} \frac {1}{h}[ln(x+h)-ln(x)]\]
Aplicando propiedad de logaritmos
\[\lim_{h->0} \frac {1}{h}[ln(\frac{x+h}{x})]\]

Y distribuyendo
\[\lim_{h->0} \frac {1}{h}[ln(1+ \frac{h}{x})]\]
Por propiedades de logaritmos pasamos el 1/h como exponencial
\[\lim_{h->0} [ln(1+ \frac{h}{x})]^\frac {1}{h}\]

Ahora si te acordas de esto:
\[\lim_{h->0} (1+ x)]^{\frac {1}{x}}= e\]
\[\lim_{h->00}(1+ \frac {1}{x})]^x= e\]

haces cambio de variable h/x=k ; h=kx

\[\lim_{h->0} [ln(1+ k)]^{\frac {1}{kx}}=>{[ [ln\lim_{h->0}(1+ k)]^{\frac {1}{k}}]^\frac {1}{x}}\]

\[ln(e)^\frac {1}{x}=>\frac {1}{x}ln(e)=> \frac {1}{x}\]
Con esto sacaste la derivada de ln por definición, sacando el dominio te lo podrian tomar como valido,O sino en vez de x usas el numero que te dan, por ejemplo si te pide la derivabilidad de |x-6| en 6
\[\lim_{h->0}{ \frac{|6+h-6|-|6-6|}{h}}\]
Si seguis aplicando te queda
\[\lim_{h->0}{ \frac{|h|}{h}}\]
lo estudias por los dos lados y te da 1 y -1 , la funcion no es derivable en X=6.

saludos

Genial muchas gracias por la orientacion! Vamos a ver que pasa hoy

Yo en un final resuelto ví que usaron L'Hopital para calcularla por definición y supuestamente estaba bien.