Buenas... alguien que este aburrido y me pueda dar una mano con esto...


Determine la ecuacion de la recta tangente y la de la norma a la grafica de f de la ecuacion y=f(x) quien viene definida implicitamente por
\[x^{3}+xy-ln(y)=10\] , en el punto P=(2,1)

No se como empezarlo...
Lo primero que pense es que ese punto es el punto de tangencia... por ende si P=(a;f(a)) entonces a=2 y f(a)=1 ... y si y=f(x) entonces reemplazo por 2 las x...
Pero creo que eso esta mal...

Alguien para opinar?

Graciaas

Derivas implícitamente para obtener Y'

Reemplazas en lo que te dio Y' con el punto que te dieron, eso te da la pendiente de la recta tangente en el punto

Después haces la ecuación del haz de rectas para esa pendiente y ese punto y te queda la recta tangente

Después la normal la sacas sabiendo que la pendiente de la recta normal es (-1)/pendiente recta tangente

Para resolver el ejercicio tenés que saber derivar una función de forma implícita. Es simple, sólo tenés que saber que las cosas con \[ x \] se derivan de la forma que ya sabés (con la regla de la suma, producto, división, de la cadena, etc), y cuando te aparecen \[ y \] las derivás directamente como \[ y' \] ya que es una variable que depende de \[ x \], la variable independiente.
La particularidad de las funciones definidas de esta forma es que la derivada depende no sólo de \[ x \], sino también de \[ y\] (\[ y'=f(x,y)\]) por lo tanto para saber la derivada de la función en el punto, necesitas la abscisa (valor de \[ x \]) y la imagen en ese punto (el valor de \[ y \]). En este ejercicio te dan ambos, pero pueden darte sólo el valor de \[ x \] y tenés que buscar el valor de \[ y \] en la ecuación.
En este ejercicio te queda así:
\[ 3x^2+y+xy'-\frac 1{y} \cdot y'=0 \] Operando: \[ y' \left( x-\frac 1y \right)=-3x^2-y \Rightarrow y'=\frac{3x^2+y}{\frac 1y -x} \]
Reemplazando \[ x \] e \[ y \] por los valores correspondientes conseguís el valor de la derivada en el punto, y sabiendo que la imagen, ya podés buscar la ecuación de la recta.

Okey... hago esto

\[ 3x^2+y+xy'-\frac 1{y} \cdot y'=0 \]
\[ y' \left( x-\frac 1y \right)=-3x^2-y \Rightarrow y'=\frac{3x^2+y}{x-\frac 1y} \]

reemplazando me da y'=-13 en el punto P=(2,1)... ahora.. tengo que llegar a \[y=f'(a)(x-a)+f(a)\] ...

f'(a) es lo que se calculo recien... ??? (x-a) la "a" vendria a ser el punto que me dieron (2)???
y me faltaria f(a)... puedo reemplazar el punto que me dieron (2,1) en x e y de la original sin derivar? O si o si tengo que sacar el haz de rectas??

perdon por mis miles de preguntas y animaladas!

f'(a) es la pendiente en el punto.
a es el punto que te dieron.
y remplazas el punto en la funcion sin derivar y te da y.
Y ahi aplicas la formula de la recta tangente. fin(?)

Mil gracias chicos!!!

No es necesario calcular \[ f(a) \] ya que te dicen que la función pasa por el \[ (2,1) \], es decir, \[ f(2)=1 \]. Tendrías q buscarlo en la ecuación original sin derivar si sólo te hubiesen dado el valor de \[ x \].

(02-12-2013 17:06)Rampa escribió:  No es necesario calcular \[ f(a) \] ya que te dicen que la función pasa por el \[ (2,1) \], es decir, \[ f(2)=1 \]. Tendrías q buscarlo en la ecuación original sin derivar si sólo te hubiesen dado el valor de \[ x \].

segun lo que decis vos... quedaria

y = f'(a)(x-a)+f(a)
y = -13 (x-2)+1
y = -13x+27 ???


y el 10 para que esta?

Ese 10 está nada más y nada menos que para definir la función. Si reemplazás \[ x \] e \[ y \] por \[ 2 \] y \[ 1 \] respectivamente a la izquierda de la ecuación, te da efectivamente \[ 10 \] por lo que concluís que \[ (2,1) \] es un punto de la función.
No necesariamente vas a encontrar constantes a un lado de la igualdad.