Holas, estoy con el sig. ejercicio y en un momento dado me trabo:

Dado el haz de planos:

\[\alpha (X-Y+Z) + \beta (X+2Z+1) = 0\]

a) Halle el plano del haz que es paralelo a la recta: rx,y,z) = (1, 0, 0) + t (1, -1, 2)

Lo que hice yo fue lo siguiente:

-agrupé por variables:

\[(\alpha +\beta)X + (-\alpha)Y + (\alpha + 2\beta)Z + \beta = 0\]

normal del haz:
\[(\alpha + \beta, -\alpha, \alpha+2\beta)\]

como la recta es paralela al plano, la recta está incluida en el plano...
entonces reemplazo por el punto que me da como dato la recta r. (1,0,0)
queda:

\[(\alpha +\beta)1 + \beta = 0\]

despejo una en funcion de la otra, me queda:

\[\alpha = -2\beta\]

reemplazo en la normal y me queda en funcion de una sola variable:
\[(-\beta, 2\beta, 0)\]

entonces como se que la recta es paralela al plano se deberia cumplir que el producto escalar entre el vector director y la normal sea = 0

\[(-\beta, 2\beta, 0) . (1, -1, 2) = 0\]
despejando queda:
\[-3\beta = 0\]
\[\beta = 0\]

entonces alfa tambien es 0:
\[\alpha = 0\]

pero evidentemente algo esta mal, que alfa y beta den 0 no parece bien, de hecho no me da ningun plano eso

si alguien me puede ayudar, graciass!

si la recta es paralela al plano , entonces la normal del plano y su director son perpendicualres .

(29-09-2014 17:42)Saga escribió:  si la recta es paralela al plano , entonces la normal del plano y su director son perpendicualres .

Y por eso es lo que yo hice (o al menos creo que hice )

Fijate que puse

Cita:entonces como se que la recta es paralela al plano se deberia cumplir que el producto escalar entre el vector director y la normal sea = 0

\[(-\beta, 2\beta, 0) . (1, -1, 2) = 0despejando queda:-3\beta = 0\beta = 0\]

entonces alfa tambien es 0:
\[\alpha = 0\]
pero evidentemente algo esta mal, que alfa y beta den 0 no parece bien, de hecho no me da ningun plano eso =P

(29-09-2014 17:33)ashton escribió:  como la recta es paralela al plano, la recta está incluida en el plano...
entonces reemplazo por el punto que me da como dato la recta r. (1,0,0)

SI la recta es paralela al plano, el director de la recta y la normal del plano son perpendiculares. Entonces haces producto vectorial de la normal y el director

\[(\alpha +\beta ;-\alpha ;\alpha +2\beta ).(1;-1;2)=0\]

De ahi sale que \[\alpha = -\frac{5}{4}\] (beta)

Reemplazas en la formula del haz y te da que

\[-\frac{1}{4}\beta x+\frac{5}{4}\beta y+\frac{3}{4}\beta z+\beta =0\] si multiplicas por 4 te queda:

\[-\beta x+5\beta y+3\beta z+4\beta =0\]