Gente, haciendo el final del 01/08/2013 me encontré con este ejercicio:

Pruebe que si para todo \[x \in \mathbb{R}\] se verifica

\[x .\sin (\pi x) = \int_{0}^{x^2}f(t)dt\]

con f continua en \[\Re \], la función f se anula en el intervalo (1,4).

Tengo la intuición de que hay que encararlo por el Teorema del Valor medio...pero la verdad que me trabé.

Derivas de ambos lados, despejas f(x), evaluas en x=1 y en x=2 (porque como tenes x^2 la manera de que te de 4 es usando x=2) y por bolzano se justifica

Pero en ese caso no tendrias que evaluar tmb en x= -1 y x = -2 ?

Ahí lo entendí, cuando dice que la función se anula se refiere a que existe una raiz...no lo relacioné, estoy muy quemado, gracias wasol !

(24-02-2014 16:27)Feddyn escribió:  Pero en ese caso no tendrias que evaluar tmb en x= -1 y x = -2 ?

Te da igual. Yo simplemente le dije esos valores como guía para que sepa resolverlo. Pero como tenes una composición de funciones, es decir:

f(g(x))=f(x²)

entonces g(x)=x², lo cual la imagen de g(x) será el dominio de f(x). Para lo cual éste va a ser [0,+infinito). Así que basta poner 1 o -1 a g(x) para que quede f(1) y lo mismo para 2 ó -2 para que quede f(4).

Tu pregunta fue muy indicada porque g(x) podría ser otro tipo de función que sufra alguna discontinuidad y ahí ya hay que ver qué tipo de análisis hay que hacer.