Buenas tardes Utnianos!

El siguiente ejercicio lo tomaron en un examen integrador:

2) La función \[E=\frac{5p^2}{8-p^3}\] representa uno de los factores de estabilidad de una plataforma petrolera en función de la profundidad (en cientos de metros) de uno de sus contrapesos.

analizar detalladamente y responder:

a) para que valores de p será E negativa?

b) para que intervalos de p será creciente el factor E?

c) en que valor de p será mínima E?

Desde ya gracias por la explicación

Yo lo resolveria de la siguiente forma...
Punto 1:
Planteas la inecuacion E < 0, como el termino de arriba es siempre positivo, el de abajo tiene que ser negativo para que E sea <0. Entonces, haces solo 8 - p^3 > 0... esto da p>2 o sea para todo p mayor que 2, E es negativa.
Punto 2:
Para sacar el intervalo de crecimiento podes ir sacando los puntos criticos que te sirven para el punto 3 tambien;
Derivas E y lo igualas a 0...
Te fijas si el signo de la derivada cambia antes y despues del signo, tomando un valor arbitrario menor y despues mayor al CADA punto critico. Si antes del punto era negativo y despues positivo, es minimo. Si es al reves, es maximo. Y ahi tenes los intervalos.
Punto 3: La info para responder este te la da el punto 2.
Espero que se entienda! Saludos. (Quizas pifie en algo, tomalo con pinzas)

Tengo otra duda de otro ejercicio pero es del mismo examen integrador:

3) Dada la función \[f(x)=1 - \frac{1}{(x-4)(x-1)}\]

a. analizar por definición la existencia de asíntotas.
b. determinar coordenadas de puntos máximos y/o mínimos por el criterio de la derivada primera.
c. determinar detalladamente la ecuación de la recta que pasa por el punto mínimo de f(x) y es paralela a la función \[10y9x=9\]
d. analizar y calcular el área finita entre f(x), la recta y=11, la recta x=2 y la recta x=3.


Lo que resolví:

a) asíntotas:

\[\lim_{x\rightarrow 4} 1 - \frac{1}{(x-4)(x-1)}= 1 -\frac{1}{0}=1-\infty = -\infty \]

\[\lim_{x\rightarrow 1} 1 - \frac{1}{(x-4)(x-1)}= 1 -\frac{1}{0}=1-\infty = -\infty \]

\[\therefore A.V en x=1 ; x=4\]


\[\lim_{x\rightarrow \infty } 1 - \frac{1}{(x-4)(x-1)}=1 -\frac{1}{\infty }=1-0=1\]

\[\therefore AH en y=1\]


\[\therefore \] AO NO EXISTE


b) primera derivada:

\[f'(x)=\frac{2x-5}{[(x-4)(x-1)]^2}\]

punto mínimo: \[P_{1}=(\frac{5}{2},\frac{13}{9})\]


c) Recta: datos

\[10y+9x=9\rightarrow y=\frac{9}{10}-\frac{9}{10}x\]

\[P_{1}=(\frac{5}{2},\frac{13}{9})\]

\[m=-\frac{9}{10}\]

reemplazo en la ecuación: \[y-y_{1}=m(x-x_{1})\]

\[y=-\frac{9}{10}x+\frac{133}{36}\]

d) en este punto es donde me surge la duda de como resolverlo??? porque me pide el área entre la función \[f(x)= 1 - \frac{1}{(x-4)(x-1)}\] y la recta \[y=11\], la recta \[x=2\] y la recta \[x=3\]

¡¡¡Gracias por quién pueda explicarme como resolver!!!.-