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696 en 50 posts · 10-08-2012 13:25

Hola gente, como andan?

Bueno pregunta: Como salvo las indeterminaciones del tipo: \[\left ( \frac{o}{o} \right )^{\left \frac{o}{o} \right }\]

Por ejemplo tengo el ejercicio:

\[\lim_{x->1}[\frac{(x-1)\sqrt{2-x}}{x^{2}-1}]^{\frac{-(x^{2})+1}{x-1}}= \left ( \frac{o}{o} \right )^{\left \frac{o}{o} \right }\]

¿Como salvo esa indeterminacion?

Saludos!

343 en 83 posts · (10-08-2012)

En este sí te puedo ayudar Jajaja

Voy a usar un teorema que te deberían haber enseñado en clase, el cual lleva al límite a la forma:
\[\lim_{x \to a} (1+\frac{1}{x})^x=e^a\]

\[\lim_{x \to 1}[\frac{(x-1)\sqrt{2-x}}{x^{2}-1}]^{\frac{-(x^{2})+1}{x-1}}=\]

\[=\lim_{x \to 1}[1+\frac{\sqrt{2-x}}{x+1}-1]^{\frac{-(x^{2})+1}{x-1}}=\]

\[=\lim_{x \to 1}[1+\frac{\sqrt{2-x}-x+1}{x+1}]^{\frac{x+1}{\sqrt{2-x}-x+1}\frac{\sqrt{2-x}-x+1}{x+1}\frac{-(x^{2})+1}{x-1}}=\]

\[=\lim_{x \to 1}e^{\frac{\sqrt{2-x}-x+1}{x+1}\frac{-(x^{2})+1}{x-1}}=\]

\[=\lim_{x \to 1}e^{\frac{\sqrt{2-x}-x+1}{x+1}-(x+1)}=\]

\[=\lim_{x \to 1}e^{x-1-\sqrt{2-x}}=e^{-1}\]

Revisá si hay algún error de cuentas.

696 en 50 posts · 10-08-2012 13:56

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Gracias! Pero, me podrias explicar que hiciste lol

?

Saludos!

343 en 83 posts · 10-08-2012 14:03

Conociendo este límete:

(10-08-2012 13:47)matyary escribió: \[\lim_{x \to a} (1+\frac{1}{x})^x=e^a\]

... trato de llevar el límite buscado a esa forma, o similar estructura. Una vez que consigo obtener \[e\], resta por calcular el exponente de la manera que ya sabés (por mayor grado, L'Hopital salvando indeterminación por otro medio etc.). Es un teorema que tuviste que haber visto en clase (no recuerdo el nombre). Ese límite sitado anteriormente siempre vale \[e^a\] cuando \[x \to a\].

El truco de este ejercicio es que tenía un cociente pero faltaba el \[1+...\] por eso sumé y resté \[1\] a dicho cociente.

696 en 50 posts · 10-08-2012 14:05

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No entiendo lo del exponente por que multiplicaste por todo eso Confused

343 en 83 posts · 10-08-2012 14:11

Error!
Así debe ser el límite mencionado...
\[\lim_{x \to a} (1+\frac{1}{x})^x=e\]

¿Esta parte?

(10-08-2012 13:47)matyary escribió: \[=\lim_{x \to 1}[1+\frac{\sqrt{2-x}-x+1}{x+1}]^{\frac{x+1}{\sqrt{2-x}-x+1}\frac{\sqrt{2-x}-x+1}{x+1}\frac{-(x^{2})+1}{x-1}}=\]

Fijate que el cociente de la base tiene que ser el inverso al exponente para llegar al valor \[e\].

De esta manera en el paso siguiente quedaría como exponente sólo \[\frac{\sqrt{2-x}-x+1}{x+1}\frac{-(x^{2})+1}{x-1}}\]

¿Ahora se entiende?

1.744 en 931 posts · (10-08-2012)

Maty, tenes un error, para poder aplicar el numero e la base debe tender a 1, o sea quedar una indeterminación del tipo \[1^\infty\], y aca no queda esa indeterminación

lo unico que hay que hacer es trabajar un poco las funciones, y tratar de simplificar terminos fijate que

\[\frac{(x-1)(\sqrt{2-x})}{x^2-1}=\frac{(\sqrt{2-x})}{x+1}\]

y que

\[\frac{-x^2+1}{x-1}=\frac{(1-x)(1+x)}{-(1-x)}=-(1+x)\]

aplicando limites

\[\lim_{x\to 1}\left ( \frac{\sqrt{2-x}}{x+1} \right )^{-x-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}=4\]

696 en 50 posts · 10-08-2012 14:28

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Uhhh muchas gracias Saga

.

Por curioso, si me quedase una indeterminacion de esa que especificaste vos (\[1^\infty\]) como se salvaria?

Saludos!

1.744 en 931 posts · (10-08-2012)

(10-08-2012 14:28)Gonsha escribió: Uhhh muchas gracias Saga .
Por curioso, si me quedase una indeterminacion de esa que especificaste vos (\[1^\infty\]) como se salvaria?

hay que llevar el limite a la forma del numero e, (limite fundamental que ya te deben haber dado en la cursada), en ese caso hay que que hacer los pasos que hizo maty arriba, por ejemplo este

limite

\[\lim_{x\to\infty}\left ( \frac{2x-1}{2x+3} \right )^{x+5}\]

fijate que queda una indeterminacion del tipo \[1^\infty\] en este caso si se puede llevar el limite a la forma del numero e, con algunos pasos matematicos previos, como sumar y restar 1 , o

algunos "trucos" en el camino, el tema es que quede de la forma

\[\lim_{x\to\infty}\left ( 1+\frac{1}{f(x)} \right )^{f(x)}=e\quad \mbox{ con } f(x)=\frac{2x-1}{2x+3}\]

esto para cuando x tiende a infinito, ahora si x tiende a 0, la expresión a la que debes intentar llegar es

\[\lim_{x\to 0}(1+f(x))^{\frac{1}{f(x)}}=e\]

343 en 83 posts · 10-08-2012 14:46

Tenés razón Saga, no hacía falta usar ese teorema. Era mucho más fácil de lo que parecía.

696 en 50 posts · 10-08-2012 14:50

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Aaaaaahhhh ya entendi, esta clarisimo. Si, yo vi esa propiedad, pero la vimos como "limite especial", jeje.

Saludos y gracias nuevamente.

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