Hola gente como andan?

Bueno estoy resolviendo un ejercicio de TL de un parcial que compre en la fotocopiadora que dice:

Sea una TL de R^3->R^3 tal que:

T(x,y,z) = (x + ay - z, -x + y + (a^2)z, x + ay + (a - 2)z)

Halle si existen, todos los valores posibles (si existen) de a tal que la dimension del Nu(T) = 2.

Si eso se cumple, significa (por teorema de las dim) que la dim de la Im(T) = 1. Por lo que tengo entendido, la cantidad de vectores LI, determinan la dimensión de la Imagen. Entonces que hice para saber esto: Plantie el Gauss Jordan para el siguiente sistema:

x + ay - z = 0
-x + y + (a^2)z = 0
x + ay + (a - 2)z = 0

Resolviendolo me quedo que:

\[\begin{pmatrix}1 &0 &-1 &|0 \\ 0& 1 &\frac{a^{2}-1}{1+a} &|0 \\ 0&0 & -(a^{2})-a+2&|0 \end{pmatrix}\]

Y me da que para a = 1, el sistema tiene solo 1 vector L.I, y por ende la Dim Im(T) = 1 => Dim Nu(T) = 2. Pero que pasa? En las respuestas al muchacho le da que a = -1. Que estoy haciendo mal?

Un abrazo!

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Ya esta. Me fije en su resolución y la se confundió cuando hizo el gauss; en vez de poner en la ultima fila (a - 2), puso (a + 2).

Un saludo!

p.d: Perdón por haber creado un thread sin antes haberme fijado con exactitud en su resolucion.

Habria que revisar las cuentas cuando hiciste gauss-jordan, por otro lado una manera de encarar mas simple el ejercicio es aplicar el teorema que dice

"que la dimensión de la imagen en una matriz asociada a una TL coincide con el rango de A"

Para este ejercicio necesitas que el \[Rg(A)<3\], para ello para facilitar las cuentas podes calcular el determinante asociado a esa matriz, e igualarlo a 0, obtenes

\[det(A)=a^2-1=0\to |a|=1\to a=1\vee a=-1\]

sabes que para esos valores de a el \[Rg(A)<3\] por ende la dimension de la imagen sera 1 o 2

Despues reemplaza los valores de a en las ecuaciones, y halla el nucleo, luego para responder utilizas el teorema de las dimensiones

(18-11-2012 20:25)Saga escribió:  Habria que revisar las cuentas cuando hiciste gauss-jordan, por otro lado una manera de encarar mas simple el ejercicio es aplicar el teorema que dice

"que la dimensión de la imagen en una matriz asociada a una TL coincide con el rango de A"

Para este ejercicio necesitas que el \[Rg(A)<3\], para ello para facilitar las cuentas podes calcular el determinante asociado a esa matriz, e igualarlo a 0, obtenes

\[det(A)=a^2-1=0\to |a|=1\to a=1\vee a=-1\]

sabes que para esos valores de a el \[Rg(A)<3\] por ende la dimension de la imagen sera 1 o 2

Despues reemplaza los valores de a en las ecuaciones, y halla el nucleo, luego para responder utilizas el teorema de las dimensiones

Eso fue precisamente lo que pense. Fijate que en mi mensaje puse:

"...(por teorema de las dim) que la dim de la Im(T) = 1. Por lo que tengo entendido, la cantidad de vectores LI, determinan la dimensión de la Imagen." La cantidad de vectores LI indican el rango de una matriz.

Gracias Saga nuevamente . Y lo que pusiste debajo esta conceptualmente mal, por que? Porque si el determinante de la matriz es 0, significa que NO TODOS los vectores de la matriz son LI (es decir hay vectores LD) lo que significa que puede pasar que el rango sea 2, por lo tanto la dim de la imagen es 2 y la dim del Nu(t) termina siendo 1 y no 2 como te pide el ejercicio. ¿Se entiende?

(18-11-2012 20:47)Gonsha escribió:  Y lo que pusiste debajo esta conceptualmente mal, por que? Porque si el determinante de la matriz es 0, significa que NO TODOS los vectores de la matriz son LI (es decir hay vectores LD) lo que significa que puede pasar que el rango sea 2, por lo tanto la dim de la imagen es 2 y la dim del Nu(t) termina siendo 1 y no 2 como te pide el ejercicio. ¿Se entiende?

Totalmente falso, si leiste lo que escribi el rango sera menor a 3, por ende la dimension de la imagen tambien, podra ser 1 o 2, y como bien decis puede pasar, pero no podes asegurar apriori que sera exactamente 2, por eso tambien dije que hay que reemplazar los valores de a en las ecuaciones, o la matriz si lo prefieres para poder asegurar o refutar eso que vos decis, que el determinante sea 0 lo unico que me dice es que esos vectores no son li nada mas, pero nada me informan de las dimensiones del nucleo, repito solo sabes que la dimension de la imagen, en este caso sera menor a 3 nada mas, se entiende ???

(18-11-2012 21:06)Saga escribió:  

(18-11-2012 20:47)Gonsha escribió:  Y lo que pusiste debajo esta conceptualmente mal, por que? Porque si el determinante de la matriz es 0, significa que NO TODOS los vectores de la matriz son LI (es decir hay vectores LD) lo que significa que puede pasar que el rango sea 2, por lo tanto la dim de la imagen es 2 y la dim del Nu(t) termina siendo 1 y no 2 como te pide el ejercicio. ¿Se entiende?

Totalmente falso, si leiste lo que escribi el rango sera menor a 3, por ende la dimension de la imagen tambien, podra ser 1 o 2, y como bien decis puede pasar, pero no podes asegurar apriori que sera exactamente 2, por eso tambien dije que hay que reemplazar los valores de a en las ecuaciones, o la matriz si lo prefieres para poder asegurar o refutar eso que vos decis, que el determinante sea 0 lo unico que me dice es que esos vectores no son li nada mas, pero nada me informan de las dimensiones del nucleo, repito solo sabes que la dimension de la imagen, en este caso sera menor a 3 nada mas, se entiende ???

Saga, el enunciado explicitamente pide que la dim del Nu(T) = 2. Si eso es asi, necesariamente la Dim de la Im = 1 (por el teorema de las dimensiones). Y nuevamente, que el determinante de la matriz de 0 no significa que el rango de la Im va a ser 1, ya que tambien puede ser 2.

El enunciado en ningun lado lo pide explicitamente, si les bien dice

"Halle si existen, todos los valores posibles (si existen) de a tal que la dimension del Nu(T) = 2"

, no asegura que vayan a existir, vos ya lo sabes por el resuelto que tenes ahi que para cierto valor de a la dimension del nucleo va a ser 2 por lo tanto si hay un valor de a que haga posible eso.

por otro lado

Gonsha escribió:Y nuevamente, que el determinante de la matriz de 0 no significa que el rango de la Im va a ser 1

yo nunca afirme eso, lee con cuidado lo que dije

Saga escribió:sabes que para esos valores de a el \[Rg(A)<3\] por ende la dimension de la imagen sera 1 o 2

yo no asegure que la dimension vaya a ser 1

(18-11-2012 21:19)Saga escribió:  El enunciado en ningun lado lo pide explicitamente, si les bien dice

"Halle si existen, todos los valores posibles (si existen) de a tal que la dimension del Nu(T) = 2"

, no asegura que vayan a existir, vos ya lo sabes por el resuelto que tenes ahi que para cierto valor de a la dimension del nucleo va a ser 2 por lo tanto si hay un valor de a que haga posible eso.

por otro lado

Gonsha escribió:Y nuevamente, que el determinante de la matriz de 0 no significa que el rango de la Im va a ser 1

yo nunca afirme eso, lee con cuidado lo que dije

Saga escribió:sabes que para esos valores de a el \[Rg(A)<3\] por ende la dimension de la imagen sera 1 o 2

yo no asegure que la dimension vaya a ser 1

Saga a ver vamos por partes.

El teorema de las dim dice:

"Dim del Nu(T) + Dim Im(T) = Dim V"

En R3 V = 3, V = 3 y por ende Dim V = 3. El enunciado dice:

"Halle si existen, todos los valores posibles de a, tal que la dimension del Nu(T) = 2."

Si la Dim Nu(T) = 2 => Dim Im(T) = 1.

El metodo que vos empleas (el del calcular el determinante e igualarlo a 0) no me garantiza que el rango de la matriz (o la dim de la imagen) sea 1. Para hallar si estos valores de a existen (y saber cuales son al mismo tiempo), tenes que hacer el Gauss Jordan y al final cuando ya pivoteaste toda la matriz, fijarte que valor le podes dar a "a" de modo que te queden 2 filas con todos 0s (para que el rango de la matriz sea 1). Se entiende ahora?

Yo nunca dije que vos hayas dicho que la dim de la Im(T) tiene que ser 1. De hecho, es lo que yo estoy diciendo (y que es lo que el enunciado implícitamente te dice, al pedirte que el Nu(T) = 2).

(18-11-2012 21:27)Gonsha escribió:  El metodo que vos empleas (el del calcular el determinante e igualarlo a 0) no me garantiza que el rango de la matriz (o la dim de la imagen) sea 1.

antes, quotea donde yo asegure que la dimension de la imagen va a ser exactamente 1

(18-11-2012 21:34)Saga escribió:  

(18-11-2012 21:27)Gonsha escribió:  El metodo que vos empleas (el del calcular el determinante e igualarlo a 0) no me garantiza que el rango de la matriz (o la dim de la imagen) sea 1.

antes, quotea donde yo asegure que la dimension de la imagen va a ser exactamente 1

Hermano mio, nunca dije eso yo. A ver si lees. Voy a citar mi mensaje original:

"Gracias Saga nuevamente . Y lo que pusiste debajo esta conceptualmente mal, por que? Porque si el determinante de la matriz es 0, significa que NO TODOS los vectores de la matriz son LI (es decir hay vectores LD) lo que significa que puede pasar que el rango sea 2, por lo tanto la dim de la imagen es 2 y la dim del Nu(t) termina siendo 1 y no 2 como te pide el ejercicio. ¿Se entiende?"

Despues vos me escribis y yo te respondo:

"Saga, el enunciado explicitamente pide que la dim del Nu(T) = 2. Si eso es asi, necesariamente la Dim de la Im = 1 (por el teorema de las dimensiones). Y nuevamente, que el determinante de la matriz de 0 no significa que el rango de la Im va a ser 1, ya que tambien puede ser 2."

Eso te lo puse, porque vos habias dicho que haga el determinante de la matriz y lo iguale a 0. Y con esa frase mia que remarque en negrita, te quise decir por que no lo puedo resolver el ejercicio de esa forma piesto que explicitamente me piden que la dim Nu(T) = 2. De hecho en tu respuesta vos me escribiste:

"... pero nada me informan de las dimensiones del nucleo"

Y yo te digo que el enunciado EXPLICITAMENTE te dice que la dimension del nucleo tiene que ser 2. Lee el enunciado otra vez.

Entendes? No era para que te enojes o para corregirte. Aca estamos par aayudarnos entre todos y tal vez alguien que entiende menos que yo viene lee lo que vos pusiste y despues se equivoca. Lo que vos pusiste esta bien si a vos te piden que, por ejemplo, la transformacion sea Inyectiva (donde la dim Nu(T) = 0). Pero para este caso en donde te piden que la dim Nu(T) = 2, no es aplicable. En realidad si lo es, pero despues tenes que ir jugando hasta ver si la Dim Im(T) es 2 o 1. Y se termina enquilombando el problema.

A ver, no tiene sentido seguir algo que ya esta resuelto, no me enojo en absoluto, pero el enunciado dice explicitamente que encontres los valores de a si existen bla bla bla bla tal que bla bla bla

lo que quiero que veas o leas y entiendas es que en ningun momento asegura que por mas que la dimension sea 2 vaya a a existir algun valor de a, por eso te piden que los determines con esas

condiciones iniciales, tranquilamente te podia haber dado otro valor de a, ponele a=4, ponele, entonces no existirian valores de a, por mas que el nucleo sea de dimension 2, ahora

¿porque no puedo exigir que el determinante sea 0? si vos mismo decis que el rango de la matriz no va a ser 3, sera 1 o 2, entonces tranquilamente puedo exigir loque propongo, ya que no

necesito que la imagen sea 3 sino menor, otra cosa, en ningun momento discuti tu procedimiento, es valido, asi como el mio, cada uno se maneja de la manera que mejor lo entienda

(18-11-2012 21:57)Saga escribió:  lo que quiero que veas o leas y entiendas es que en ningun momento asegura que por mas que la dimension sea 2 vaya a a existir algun valor de a, por eso te piden que los determines con esas

Y cuando dije yo que mi procedimiento no te permitia ver si existia o no un valor de "a" que satisfagan los requisitos? Dejame que te diga que hice, asi lo vas a ver mucho mejor.

Vos tenes este sistema de ecuaciones:

x + ay - z = 0
-x + y + (a^2)z = 0
x + ay + (a - 2)z = 0

Empecemos a hacer el gauss Jordan:

Saltiemosnos un par de pasos y vayamos al final de este:

\[\begin{pmatrix}1 &0 & \frac{-a^{3}+a}{1+a} &|0 \\ 0&1 &\frac{a^{2}-1}{1+a} &|0 \\ 0& 0& -(a^{2})-a+2& |0\end{pmatrix}\]

Y sabes que? No existe valor de a que satisfaga el sistema. Jaja. Justamente gracias a este procedimiento me acabo de dar cuenta de eso. Fijate:

Si a = -1 te queda lo siguiente:


\[\begin{pmatrix}1 &0 & \frac{0}{0} &|0 \\ 0&1 &0 &|0 \\ 0& 0& 0& |0\end{pmatrix}\]

Eso no se puede resolver por el 0/0.

Si a = 1:

\[\begin{pmatrix}1 &0 & 0 &|0 \\ 0&1 &0 &|0 \\ 0& 0& 0& |0\end{pmatrix}\]

Eso me dice que el rango es 2, por ende dim im(t) = 2 y la dim Nu(t) = 1 (distinto de 2).

Ahora lo ves mejor?

p.d: A nooo, me estoy confundiendo. Dios, esa matriz no es la de la Imagen!! Dohhh! Esa matriz es la TL!! Y el rango de esa matriz me estaria indicando el rango del nucleo!!!

a = 1 entonces jaja.