Hola gente, como andan?

Bueno aca estoy con un ejercicio de ASyS (preparando el 2do recuperatorio del 4to parcial, al horno) bastante fácil en lo conceptual, pero quizás un poco rebuscado en lo algebraico (o lo suficientemente tonto como para que no me de cuenta como hacerlo). No logro sacarlo.

Dejo el enunciado.



Pude hacer el punto a), el cual me dio que la transferencia en el dominio de Z es:

\[H(z)=\frac{z^2+\frac{1}{2}z}{z^{2}+z+\frac{1}{2}}\]

El tema es que siempre tuve dudas a la hora de hallar h[n] partiendo de la base de que los polos son complejos conjugados (por no decir que ademas en este caso el grado del polinomio del denominador NO es mayor que el grado del polinomio del numerador lo que significa que no se puede usar residuos, si mal no recuerdo).

¿Quien me tira un salvavidas y me deja la resolución? Saludos y mil gracias!

Edito 1: Dejo algo que acabo de hacer, pero que tampoco me lleva a ningun puerto. Dividi la transferencia como la suma de 2 fracciones, me quedo esto:

\[\frac{z^2+\frac{1}{2}z}{z^{2}+z+\frac{1}{2}} = \frac{z^2}{z^{2}+z+\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}\frac{z}{z^{2}+z+\frac{1}{2}}\]

Y por ultimo exprese el denominador de otra manera quedándome así:

\[ \frac{z^2}{(z+\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}\frac{z}{(z+\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{4}}\]

Pero por tablas no sale tal fácilmente, no se me ocurre que puedo hacer.

Otra cosa que se me ocurrio recien, fue expresar nuestra ecuacion inicial de H(z), la cual era:

\[H(z)=\frac{z^2+\frac{1}{2}z}{z^{2}+z+\frac{1}{2}}\]

Como:

\[H(z)=\frac{z(z+\frac{1}{2})}{z^{2}+z+\frac{1}{2}}\]

En ese caso, si podría resolver por residuos y luego como esta multiplicado por "Z" lo desplazo hacia la izquierda [es decir agrego un u(n+1)] y listo. Pero seria un alto bardo (bah, eso creo yo). Lo voy a intentar y si sale aviso. Si a alguien ya le salio, le pido que me diga por favor .

Saludos!

Edito 2: Intente resolverlo por residuos como propuse arriba a través de:

\[H(z)=\frac{z(z+\frac{1}{2})}{z^{2}+z+\frac{1}{2}}\]

Imaginemos que el primer z multiplicando no existe, es decir que tenemos esto:

\[H(z)=\frac{z+\frac{1}{2}}{z^{2}+z+\frac{1}{2}}\]

Resolvi eso por residuos y me quedo un choclaso enorme! No creo que se resuelva asi...

Hola Gonsha. Veo que no le estás dando bola a la ayuda que dan. Igualá lo que te dió con la ayuda y te va a salir.

Me quedó: a = +- 1/raiz(2); omega=45°

Ahi lo que podes hacer es dos cosas: Como el grado del numerador es el mismo que el denominador tenes que hacer la division y te queda 1- 1/2 * (z+1)/(z^2+Z+1/2). Lo otro que podes hacer es del numerador sacar una z y mandarla para el otro lado, ahi podes hacer fracciones simples y luego antes de hacer la antitransformada la pasas de nuevo al otro lado.

Slds,