Bueno estoy recursando analisis I por desgracia me tocó la famosa Alba Gregoret y buscando parciales que tomó otro años encontre este ejercicio:

Hallar el grado del polinomio de Taylor que permite aproximar \[\sqrt[3]{e}\] con 8 cifras decimales exactas.

En clase hizo uno parecido con ln de un numero, y utilizó esta fórmula:

\[t_{c}=\frac{f^{(n+1)} ©}{(n+1) !} * (x-a)^{n+1}\]

entonces yo lo q hice fue:

\[\sqrt[3]{e}=e^{\frac{1}{3}}\]
\[x=\frac{1}{3}\]
tomé a=1

\[f(x)= e^{x}\]
\[f^{(n)}(x)=e^{x}\]
\[f^{(n+1)}(x)=e^{x}\]

\[|T_{c}|=| \frac{e^{c}(\frac{1}{3}-1)^{n+1}}{(n+1)!}|\]

\[T=| \frac{e^{c}(\frac{1}{3}-1)^{n+1}}{(n+1)!}|= \frac{e^{c}(-\frac{2}{3})}{(n+1)!}\]

Ahora aca nos dijo que usemos un numero un poco mas grande que el que en mi caso sería \[-\frac{2}{3}\],entonces a mi se me ocurrió usar \[-\frac{7}{9}\]:

\[\frac{e^{c}(-\frac{2}{3})}{(n+1)!} < \frac{\frac{7}{6}^{n+1}(-\frac{2}{3})^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{(-\frac{7}{9})^{n+1}}{(n+1)!}\]

entonces fui probando y con n=9 me quedó:

\[|T_{c}|< \frac{(-\frac{7}{9})^{10}}{10!}= 2,23250414*10^{-8}\]

osea que,por lo que entendí, el polinomio de grado 9 sería el que estoy buscando, pero cuando armo el polonomio y hago las cuentas para ver si me da algo parecido y saber si está bien lo que hice(ya se que no hay q resolver el polinomio, es solamente para ver si hice bien el ejercicio) no me da un numero parecido a \[e^{\frac{1}{3}}\] y en el ejemplo que hizo la profe con el ln si daba un numero parecido. La verdad no entendi mucho como hacer este tipo de ejercicios también probé con a=0 y tampoco me dio, si alguien me puede ayudar se agradece