Hola gente!
Me estoy volviendo loco con un ejercicio de la guía (ejercicio 2b página 1).
Básicamente hay que resolver la siguiente ecuación diferencial:

\[ 4x^2y'' + y = 0\]

Según tengo entendido es del tipo de ecuaciones diferenciales lineales, la diferencia es que en lugar de \[y\] ser de grado 1 y 0 ó 2 y 1 en este caso es 2 y 0... cómo se hace eso???

Desde ya muchas gracias.
Saludos.

Hola, no se si te sirva ya a esta altura pero podes probar de resolver la ecuación diferencial usando \[y=x^r\]

saludos

Ojo! El ejercicio no te pide resolver la ED.
Dice que verifiques que y=(2-ln(x)).x^(0.5) satisface la ED que bien escribiste, para todo x tal que x sea mayor a cero, con recta tangente de ec. y= 2 en (1,2).

En general esos ejercicios se resuelven derivando la función original y reemplazando en la ED y ver que verifique. Nada más.
Al ejercicio lo tengo marcado como que lo resolví alguna vez (resolví bien) pero no ecuentro dónde. Intenté hacerlo recién y no lo logre. Si estoy en lo correcto en la forma de resolución me debo haber equivocado en alguna cuenta, ya que para derivar por segunda vez hace muy fácil equivocarse. Ni hablar cuando se reemplaza en la ED original.

Respecto de cuando habla de la recta tangente, básicamente tenes que ver que la ecuación y=2 corresponde a una recta de pendiente nula, o sea, la derivada y´(1,2) es cero, y eso se verifica si derivas la "y" y después remplazas por el punto, te da que y´(1,2) es cero efectivamente.

Intenta, si te sale, joya.

El ejercicio es básicamente eso. Si encuentro alguna otra forma de resolverlo te aviso.

Saludos

Ojo! No es necesario resolver la ED.
Te da la función y.
La derivas dos veces y la reemplazas en la ED y si verifica la igualdad, entonces el ejercicio está resuelto, saludos!

Alguien pudo resolver este ejercicio? Se resuelve derivando dos veces y reemplazando en la ED ? Probe por ese camino pero no llego a nada, se hace muy engorroso, hay otro camino?

Hola, tenes una solución particular de la ec. diferencial, por ende voy a buscar la "y" y la "y' " para reemplazar en la ec. diferencial ver si se cumple.

\[y'=-\frac{1}{x}x^{\frac{1}{2}}+(2-ln(x))\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\]

\[y'=-x^{-\frac{1}{2}}+(2-ln(x))\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\]

\[y''=\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}+\frac{1}{2}[-x^{-\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}(2-ln(x))x^{-\frac{3}{2}}]\]

\[y''=\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}-\frac{1}{4}(2-ln(x))x^{-\frac{3}{2}}\]

Ahora teniendo: \[4x^2y''+y=0\]

Reemplazo:

\[4x^2(\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}-\frac{1}{4}(2-ln(x)x^{-\frac{3}{2}})+(2-ln(x))x^{\frac{1}{2}}=0\]

Simplifica todo y queda: \[0=0\]


Saludos!

En la primera parte del segundo paso no entiendo que hiciste.

Pase: \[\frac{1}{x} =x^{-1}\]

Y luego: \[x^{-1}x^{\frac{1}{2}}=x^{-\frac{1}{2}}\] por propiedad de los exponentes,

Esa era la duda?

Si, gracias.

Dale de nada, cualquier cosa me avisas y si no doy bola (porque no lo veo) me tagueas

fer, sos groso

El segundo termino de la segunda derivada va elevado a la menos un medio, no a la menos tres medios. Saludos

Primero buscas y'

y' = -ln(x) / 2x^(1/2)

Buscas y''

y'' = - ( 2/x^(1/2) - ln(x) / 4x^(3/2) ) / 4x^2

Te fijas la igualdad del ejercicio ( que multiplica y'' por 4x^2 entonces se cancela)

-2 / x^1/2 + ln(x) / 4x^(3/2) + (2-ln(x))x^(1/2) = 0

resolviendo te queda

ln(x) * x^(1/2) / 4x^2 = ln(x) * x^(1/2)

que no es igual, pero como el ejercicio te dice que es para todo x > 0 que tiene ec de recta tangente y = 2 en (1,2) te esta diciendo que x = 1. Si reemplazas en la ecuacion anterior te queda 0 = 0 asique verifica

Aclaro pq arriba estaba mal resuelto