¡Buenas! Resolví este problema, pero no logro detectar qué estoy haciendo mal .

Cita: Calcule el área del trozo de superficie cónica de ecuación \[z^{2}=x^{2}+y^{2}\] cuyos puntos cumplen con \[x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 18\]

Hice lo siguiente:

1) Parametricé la cónica aplicando
\[\left\{\begin{matrix} x = \rho \cdot cos(\phi )\\ y = \rho \cdot sen(\phi )\\ z = z\end{matrix}\right.\]

Y me quedó como: \[f(\rho ,\phi) = ( \rho \cdot cos(\phi ), \rho \cdot sen(\phi ), \rho ^{2})\]

2) Aplicando la restricción de la esfera: \[ \rho ^{2} +z^{2} \leq 18 \Rightarrow 2\rho ^{2} \leq 18 \Rightarrow \rho\in [0, 3]\]

3)Calculé el productó vectorial de las derivadas parciales de la función parametrizada y obtuve: \[(2\rho \cdot cos(\phi ). 2\rho \cdot sen(\phi ), -\rho )\]

4)Y llegué a la siguiente integral: \[\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{3}\left \|(2\rho \cdot cos(\phi ). 2\rho \cdot sen(\phi ), -\rho ) \right \|d\rho d\phi = \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{3}\rho\sqrt{4\rho^{2}+1}d\rho d\phi\]

Y al resolverla, el resultado me da distinto al que se supone que tiene que dar... No logro ver dónde me estoy confundiendo, si alguien me da una mano se lo voy a agradecer.

Saludos.

(19-05-2013 13:09)Shizus escribió:  ¡Buenas! Resolví este problema, pero no logro detectar qué estoy haciendo mal .

Cita: Calcule el área del trozo de superficie cónica de ecuación \[z^{2}=x^{2}+y^{2}\] cuyos puntos cumplen con \[x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 18\]

Hice lo siguiente:

1) Parametricé la cónica aplicando
\[\left\{\begin{matrix} x = \rho \cdot cos(\phi )\\ y = \rho \cdot sen(\phi )\\ z = z\end{matrix}\right.\]

Y me quedó como: \[f(\rho ,\phi) = ( \rho \cdot cos(\phi ), \rho \cdot sen(\phi ), \boxed{\rho ^{2}})\]

lo que recuadre no va.....con la parametrizacion elegida por vos \[z^2=\rho^2\to z=\rho\] fijate si arreglando eso llegas al resultado

(19-05-2013 18:20)Saga escribió:  

(19-05-2013 13:09)Shizus escribió:  ¡Buenas! Resolví este problema, pero no logro detectar qué estoy haciendo mal .

Cita: Calcule el área del trozo de superficie cónica de ecuación \[z^{2}=x^{2}+y^{2}\] cuyos puntos cumplen con \[x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 18\]

Hice lo siguiente:

1) Parametricé la cónica aplicando
\[\left\{\begin{matrix} x = \rho \cdot cos(\phi )\\ y = \rho \cdot sen(\phi )\\ z = z\end{matrix}\right.\]

Y me quedó como: \[f(\rho ,\phi) = ( \rho \cdot cos(\phi ), \rho \cdot sen(\phi ), \boxed{\rho ^{2}})\]

lo que recuadre no va.....con la parametrizacion elegida por vos \[z^2=\rho^2\to z=\rho\] fijate si arreglando eso llegas al resultado

Era eso .

¡Muchas gracias!