Gente,

Estoy preparando AM2 para darla ahora en febrero.

Viendo algunos ejercicios de flujo, en muchos casos los resuelven con la divergencia.

Tengo entendido que se ultiliza la divergencia cuando el cuerpo esta "limitado" o tiene "tapas".

Y me agarraron dudas con este ejercicio en donde aplicaron gauss (divergencia):

Calcular el flujo de f (x,y,z) = (x + 2y , 2y + xz , 2z + xy) a traves de la superficie frontera del cuerpo definido por:

z\[\geq \]0 , x + z \[\leq \] 4 , 0 \[\leq \] x \[\leq \] 4 - y^2

Mi duda puntual es: Ademas de graficamente, existe manera de saber si la superficie por la cual tengo que calcular el flujo es "cerrada" , "limitada" o con "tapas"? (para poder utlilizar divergencia).

Ojala me puedan dar una manito!

Gracias

Hola!
Mirá yo ahora me voy a poner a tratar de resolver el problema, pero respondiendo a tu pregunta:
En regla general te los dan abiertos, o como intersección, sin embargo SIEMPRE SIEMPRE te recomiendo hacer el dibujo, es increible como te ayuda, aparte siempre te van a preguntar para donde lo orientaste al flujo, asi que nunca podes safar del grafico ( si es lo que querias jajaja ). Sin embargo te repito, es muy provechoso hacer el dibujo, porque usualmente sacas de toque, donde lo tenes que cerrar, y como!.
Ahora en un rato si me sale publico la rta.
Resumiendo: Creo que habia una forma analítica de saber si la superficie estaba cerrada, pero era muy complicada.

A
A

Bueno, dias después no pude termiarlo, pero te muestro hasta donde llegue:

Igual te digo, en mi opinion personal (?), me parece un ejercicio PERRISIMO, onda nunca en la guia o en los parciales tuve qeu hacer algo de esto, usualmente pones UNA tapa, a las superficies y a la goma. A mi en un parcial me toco poner 2 Tapas y me cayó bastante mal...... Aca tuve que poner 4 tapas.. ONDA...
No se, realmente espero que me haya equivocado en algo, si te fijas, no lo pude terinar siquiera! jajajaj
Me falto calcular el flujo a traves de las tapas, y sacar la ultima cuenta!
Tenes el ejercicio resuelto? o el resutlado al menos?

A
A

Campo vectorial:

\[\bar{f} (x,y,z)=(x+2y,2y+xz,2z+xy)\]


Límites:

\[0 \leq z \leq 4-x\]

\[0 \leq x \leq 4-y^2 \to 0 \leq 4-y^2 \to |y| \leq 2\]

\[-2 \leq y \leq 2\]


Divergencia:

\[div(\bar{f})=1+2+2=5\]

Divergencia=128


Bueno fijense si les dio igual, las tapas son muchas Jajaja si no te salen te intentaré ayudar (no tengo muchas ganas de tipear )

Gente!

Muchas gracias por la buena onda y las respuestas!

La idea no es safar del dibujo (siempre que el dibujo sea para que los profesores se den cuenta MAS O MENOS que podía graficar el trozo encerrado jajajaj)..

Acá subo la supuesta solución y como quien lo hizo pone "como la superficie es cerrada".. y, como soy HORRIBLE dibujando, no podría darme cuenta si realmente se cerraba. Por eso mi pregunta de si había alguna forma "analitica" de saber si era cerrada o no para saber si puedo o no aplicar gauss!

Hola, a ver unas observaciones, no entiendo que tapas quieren restarle al problema, se resuelve como lo hizo matyary y ahi termina el ejercicio.

Se tendrian que restar las tapas si no nos dieran el cuerpo ya definido, aca por el enunciado esas superficies definen un cuerpo cerrado, y como todos sabemos el cuerpo tiene su volumen, se cumplen las condiciones para aplicar el teorema de la divergencia, asi que no hay tapa/s que restar .

Distinto seria que uno mismo tenga que aplicar restriciiones para definir un cuerpo que defina un volumen, por ejemplo

\[0\leq z\leq \sqrt{4-x^2-y^2}\]

aca ya esta definido un cuerpo que tiene su propio volumen asi que divergencia de una, no se resta tapa alguna.

Distitno es \[z\leq \sqrt{4-x^2-y^2}\]
aca la superficie esta abierta no define ningun cuerpo por ende no hay volumen,entonces la cierro con z=0, aplico divergencia y despues no olvidar restar lo que estoy aumentando, o sea las tapas , se entiende??

Siempre lean bien el enunciado y piensen con tranquilidad que de todas las herramientas que poseen para la resolucion de problemas, cual de todas es la mas conveniente, a veces divergencia te juega en contra y te :ahorcado: , cuando el ejercicio estaba pensado para resolverlo por definicion

---

jajaja es mi resolucion, de los dibujos podes safar siempre y cuando no te pidan "exprese graficamente.....", yo ahi me comi el 5 en el integrando, la solucion correcta es la que plantea maty, pero como dije antes solo es fijarse bien el enunciado y tener clara la teoria

saludos

JAJAJAJAAJ los limites los tengo bien, (como siempre (?) ).
Ya me parecia raro tener que poner tantas tapas, es la costumbre .
Igual me dio mal la integral de volumen, la tendria que re-hacer, pq la hice en un costadito medio apurado JAAJAJAJ.
Pero es verdad lo qeu dice Saga.

A todo esto, me surgio una duda mientras hacia el ejercicio, puede que cuando calcule las tapas, me queden letras que no pueda resolver?
Por ejemplo en este ejercicio (a pesar de estar mal hecho) si no me hubiran dado z>0, esa tapa yo la hubiera tenido qeu calcula, y como se ve en mi dibujo me queda la integral de -2z-2xy dX dY. Como hubiera hecho en ese caso? pq cuando termine de resoler la integral me va a quedar "Z" dando vueltas.

Saga!

Yo no digo que haya que restar tapas! Solo estoy tratando de "saber" (se que no hay una manera puntual), cuando aplicar una cosa u otra..

Busco "tips" para que cuando vaya al examen por ej diga "Ah, mira tengo un x^2 + y^2 = 4 , entonces uso polares"...

En este caso sería "Ah mira tengo estos datos, entonces uso divergencia"..

No se si entiende!

Perdon! Laburé todo el día y encima tengo dudas!!! jajajaja...

Ah listo, esto ya me lo habías explicado en diciembre Saga Jaja. Ahora ya me quedó re contra grabado, espero no volver a equivocarme. Saludos!

PD.: Si dice primer octante, por ejemplo, también está definido su volúmen y no hace falta restar tapas, no?

Vamos por partes

@Aoshido
Si no te daban el z>0 para poder usar divergencia tenias que cerrar primero ese cuerpo para que defina un volumen, luego restarsela obviamente, en ese caso tendrias que hacer, suponiendo que nos dicen unicamente que z es positivo

\[z=0\rightarrow x\leq 4\]

quedandote una tapa ya definida, siempre el enunciado te va a dar todos los datos necesarios para armar las tapas, aca estamos haciendo un supuesto.

@Poltecito

No hay recetas magicas solo es un poco de imaginacion , igual algunos "tips" que te pueden ayudar son
-si el enunciado te habla de "cuerpos definidos" tal cual este ejercicio
-Si tenes desigualdades, y si el enunciado no te dice que esas inecuaciones no definen ningun cuerpo, te puede estar dando el puntapie inicial para que uses la divegencia, ojo esto no siempre es asi, depende mucho del ejercicio y las superficies por las cuales te piden el calculo de flujo, por lo general el enunciado siempre te aclara si tenes o no un cuerpo definido, caso contrario pensar si cerrar la superficie es la mejor opcion o aplicar directamente la definicion

@matyary

Depende de las condiciones, y las restricciones ademas del primer octante, fijate que un cilindro es abierto en la tapa de arriba por mas que este en el primer octante, debera aclarar el enunciado, si existe alguna otra restriccion, como dije anteriormente no hay recetas ni formulas magicas, es solo usar un poco la logica e intuicion y aplicar las herramientas que tengamos a mano para resolver los problemas

@Saga

Ves! Me entendiste! jajajajaa...

Ese tipo de detallecitos busco yo... Se que no hay manera de saber el metodo exacto, pero si de los que uno conoce y segun los datos que tiene decir "bueno, me parece que este es el que corresponde"

Mil Gracias!

Ya que estamos posteo aca... alguien me puede explicar bien claro el tema de la orientacion en el teorema del rotor?
Realmente no lo entiendo.. si lo de la mano derecha pero tal vez no se graficar las cosas... por ejemplo, haciendo ejercicios llegué a 2 situaciones.

1. Con ejes XZ me quedo una circunsferencia que rota (por puntos) en sentido anti horario. Voy al gráfico de XY(piso)Z(altura), y veo que la rotacion es al revés.. no lo logro entender.. si tiro esa "circunsferencia" que me había quedado a la pared izquierda me quedaría que rota para abajo, haciendo que la normal en Y vaya para la derecha cuando en realidad va para la izquierda y es -1 (porque lo tengo resuelto). ¿Se entendió algo?

2. Ahora con ejes XY me quedo una circunsferencia que gira en sentido horario. Si voy al gráfico de XYZ .. ¿como me tendría que quedar la normal en Z?

Mis preguntas entonces son:
1) 'hay alguna técnica para trasladar esa rotacion en R2 al R3 que sea fácil? Porque mi problema es ese, no me imagino el cuerpo si me cambian los ejes como en el caso 2. La regla después la se usar si se el sentido de circulación, pero tirando puntos en R3 no me la hago en la cabeza
2) En este caso la normal era 0,-1,0 no?
3) En este caso como sería la normal 0,0,z?

Abrazo y gracias

Hola guidoakd va a ser mas fácil ayudarte si subis el ejercicio del cual tenes dudas, o subi tu planteo en una imagen o si te animas en latex y vemos el desarrollo que hiciste, a ver si viendo el desarrollo el ejercicio o el ejercicio mismo, te podemos/puedo ayudar

saludos