Tengo el generador de un subespacio en R4
S= gen {(-1,2,3,-2),(2,-3,-1,3),(0,1,5,-1)}
Sé que no es base porque no es LI, pero no sé cómo saber qué vector tengo que descartar para que lo sea, en los ejercicos anteriores se podía hacer a ojo porque se veia cual era proporcional. El ejercicio me pide la base del componente ortogonal y su dimensión (algo que creo poder obtener una vez que obtenga la base de S), en la respuesta dice que la dim es 2 y la base del ortogonal es {(-7,-5,1,0),(0,1,0,1)}

Gracias de antemano.
PD: descarté uno al azar y llegué a la respuesta, pero me gustaría saber qué camino deberia haber seguido para no dejar la nota del parcial al azar tambien...

haces una matriz con los 3 componentes del generado por S

te keda
-1 2 3 -2
2 -3 -1 3
0 1 5 -1

dividis por menos 1 la primer fila de la matriz, asi te queda 1 en el primer elemento de la matriz en vez de menos 1
bueno ahi haces gauss jordan en la primer columna, y te va a kedar asi la matriz :

1 -2 -3 2
0 1 5 -1
0 1 5 -1

esta mas que claro que de esos 3 vectores que te quedaron, tenes que usar el primero y uno de los dos que esta repetido (si queres podes hacer gauss normal restando la 2da fila con la 3er fila y listo te keda 0 0 0 en la ultima)

ahi haces (a,b,c,d) . (1,-2,-3,2) = 0
(a,b,c,d) . (0,1,5,-1) = 0

te keda --> a - 2b -3c + 2d = 0
b + 5c - d = 0

este sistema lo resolves como se te cante (yo hice gauss jordan) y te va a quedar asi :

a + 7c = 0
-b - 5c +d = 0

ahi despejas y sacas la base del componente ortogonal que te va a quedar (-7c, d - 5c, c ,d ) = (-7,-5,1,0),(0,1,0,1)


en concreto, tenes que darte cuenta que el espacio ese no es li, haciendo determinante y fijandose si te da igual o distinto de cero
cuando te das cuenta que no es li, entonces va a tener 1 o 2 dimensiones seguramente, ahi aplicas gauss-jordan o gauss o lo que te convenga en cada caso para ir despejando y bueno etc etc

Gracias. No había podido hacer determinante porque es una matriz 4x3. Había usado gauss-jordan pero poniendo los vectores como columnas en lugar de fila, porque hice
a(-1,2,3,-2) +b(2,-3,-1,3) +c(0,1,5,-1)= (0,0,0,0)
-a+2b=0
2a-3b+c=0
3a-b+5c=0
-2a+3b-c=0
y de ahi resolvi por matriz, asi que cuando me quedaba una fila repetida no sabía cuales de los vectores estaban repetidos.

Tengo el parcial hoy y me estoy atascando en todos los ejercicios << antes me salian casi pero parece que me vino la amnesia post-parcial antes del parcial.