Hola a todos y a todas, me estoy preparando para rendir el final Álgebra y necesito que me den una mano en dos ejercicios...


El primero es de transformaciones lineales (el segundo ejercicio del final del día 6 de Agosto de 2013, tema 1)...
Creo tenerlo hecho bien (lo que hice está en los spoilers correspondientes a cada ítem)... necesitaría que me digan si está bien hecho así el ejercicio.

(1) Dada la transformación lineal \[T: \mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3/T(x,y,z) = (x+(\beta -1)y+z,\beta x+(\beta -2)y+z,x+y+z)\]:

(1.A) Halle para qué valores de \[\beta \epsilon \mathbb{R}\], si existen, la dimensión del núcleo es 2.


(1.B) Para \[\beta =2\], determine \[\lambda\epsilon \mathbb{R}\] sabiendo que \[(\lambda +3, 4, 5)\] pertenece al conjunto imagen.



El segundo es de autovalores y autovectores... (el tercer ejercicio del final del día 6 de Agosto de 2013, tema 1)
Acá, simplemente, no sé ni por dónde arrancar.

(2) Sea \[A = \begin{pmatrix}h & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}\].

(2.A) ¿Para qué valores de \[h\] la matriz \[A\] tiene un autovalor de multiplicidad 2?

(2.B) ¿A es diagonalizable para los valores de \[h\] hallados en el (2.A)?

El primero esta bien. Yo lo hice de otro modo, pero se nota claramente que la dimensión del núcleo nunca será 2. La segunda parte igual.

El ejercicio de autovectores fijate que cuando planteas el polinomio característico te queda:

\[(h-\lambda).(1-\lambda).(2-\lambda)=0\]

Y acá se ve claramente que para que uno de los autovalores tenga multiplicidad doble sólo puede ser h=1 ó h=2. De ahí sacas los autovectores con cada h y cada \[\lambda\] y bueno, si la multiplidad geométrica es igual a la algebraica ya sabes que es diagonalizable.
Suerte!

El primero esta bien. Yo lo hice de otro modo, pero se nota claramente que la dimensión del núcleo nunca será 2. La segunda parte igual.

El ejercicio de autovectores fijate que cuando planteas el polinomio característico te queda:

\[(h-\lambda).(1-\lambda).(2-\lambda)=0\]

Y acá se ve claramente que para que uno de los autovalores tenga multiplicidad doble sólo puede ser h=1 ó h=2. De ahí sacas los autovectores con cada h y cada \[\lambda\] y bueno, si la multiplidad geométrica es igual a la algebraica ya sabes que es diagonalizable.
Suerte!

El primero esta bien. Yo lo hice de otro modo, pero se nota claramente que la dimensión del núcleo nunca será 2. La segunda parte igual.

El ejercicio de autovectores fijate que cuando planteas el polinomio característico te queda:

\[(h-\lambda).(1-\lambda).(2-\lambda)=0\]

Y acá se ve claramente que para que uno de los autovalores tenga multiplicidad doble sólo puede ser h=1 ó h=2. De ahí sacas los autovectores con cada h y cada \[\lambda\] y bueno, si la multiplidad geométrica es igual a la algebraica ya sabes que es diagonalizable.
Suerte!

(04-02-2014 18:07)wasol escribió:  El primero esta bien. Yo lo hice de otro modo, pero se nota claramente que la dimensión del núcleo nunca será 2. La segunda parte igual.

El ejercicio de autovectores fijate que cuando planteas el polinomio característico te queda:

\[(h-\lambda).(1-\lambda).(2-\lambda)=0\]

Y acá se ve claramente que para que uno de los autovalores tenga multiplicidad doble sólo puede ser h=1 ó h=2. De ahí sacas los autovectores con cada h y cada \[\lambda\] y bueno, si la multiplidad geométrica es igual a la algebraica ya sabes que es diagonalizable.
Suerte!

Gracias!
Pude hacerlo y llegué a eso mismo: \[h=1\] y \[h=2\].

Lo completo acá, ya que estamos:

Con \[h=1\]:

Como la solución es \[x=y=z=0\], la \[dim(S_{h=1})=0\].
Entonces, como la multiplicidad algebraica (que es 2) es distinta de la multiplicidad geométrica (es 0) A no es diagonalizable.

Ahora... con \[h=2\]:

Ocurre lo mismo que antes, la solución es: \[x=y=z=0\]. Entonces, la \[dim(S_{h=2})=0\].
Como antes: la multiplicidad algebraica (que es 2) es distinta de la multiplicidad geométrica (es 0). Entonces, A tampoco es diagonalizable.

Nunca voy a entender por qué la respuesta se envió tres veces, pero bueno. Suerte che!

Otra pregunta, ya que estamos (es parecido al segundo que subí)...

Sea \[A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 2\\ 1 & 0 & a\\ 0 & 0 & b\end{pmatrix}\], hallar los valores de \[a\] y \[b\] para que \[1\] sea autovalor doble (multiplicidad algebraica = 2) y A sea diagonalizable.