hola gente necesito una mano con este ejercicio , lo trate de resolver pero no hay caso , si me pueden ayudar se los agradeceria .saludos
\[\sum_{i=1}^{2n}2i=2n(2n+1)\]

Veamos...caso base \[n=1\]:

\[\sum_{i=1}^2 2i = 2 + 4 = 6\]
\[2(2 + 1) = 6\]

Se cumple.

Hipotesis:
\[\sum_{i=1}^{2n} 2i = 2n(2n +1)\]
Tesis:
\[\sum_{i=1}^{2n+2} 2i= 2(n+1)(2(n+1) + 1) = (2n+2)(2n+3) = 4n^2 + 10n + 6\]

Partimos del miembro izquierdo de la tesis:
\[\sum_{i=1}^{2n} 2i + 2(2n+1) + 2(2n+2)\] (sacamos los dos ultimos terminos de la sumatoria, y nos aparece la hipotesis en el primer sumando)
\[=2n(2n+1) + 4n + 2 + 4n + 4\]
\[=4n^2 + 2n + 8n + 6\]
\[=4n^2 + 10n + 6\] <-- aca llegamos al segundo miembro de la tesis, que es lo que queriamos probar

Hay que darse cuenta que no solo se puede sacar el ultimo termino en una sumatoria, sino todos los que querramos. Ojala que te haya servido, suerte!

muchas gracias ya logre entenderlo, me habia olvidado que estaba desde 1 hasta 2n y por eso nunca me iba a dar, muchisimas gracias