Buenas!
Necesito ayuda con unos ejercicios de discreta (estoy preparando el final para el 15/2), no se cómo encararlos, leí todo el libro de peralta más la carpeta (cursé con Capurro) y los apuntes de verano, pero sigo haciendo agua con algunas cosas. Son de la guía, si alguien los tiene hechos o sabe como se hacen, me sería de gran ayuda!

Números Enteros:

4.4 Demostrar las siguientes propiedades:
a) \[a \epsilon Z, b \epsilon Z \Rightarrow (a, b) = (|a|, |b|) = (b, a)\]
b) \[a \epsilon Z, b \epsilon Z, c \epsilon Z \Rightarrow (a, (b, c)) = ((a, b), c)\]
c) \[a \neq 0, (a, b) \Rightarrow |a| \Leftrightarrow a|b\]
d) \[(a, b) = d \wedge (c, b) = 1 \Rightarrow (a.c, b) = d\]
Con estos ejs no tengo idea por donde empezar

Producto Cartesiano:

1.2 Mostrar que, para cualquier conjunto A, {a, b} X A = ({a} X A) U ({b} X A)
Por donde empiezo?

Relaciones:

2.2 Considerar el conjunto Z, de los números enteros y la relación R sobre Z X Z definida por: (x;y) R (z; t) \[\Leftrightarrow \] x - z = y - t. Se pide:
a) Interpretar geométricamente la relación R.
c) Considerar la relación S definida en el mismo conjunto, definida por: \[ (x; y) S (z; t) \Leftrightarrow \sqrt{(x - z)^{2} + (y - t)^{2}} \leq 4\] y dar \[R \cap S, R \cup S, R - S\].

2.5 Sea A un conjunto. Para cada uno de los subconjuntos X de A, definimos la función característica de A de la forma siguiente:
\[X_{x}: Xn \rightarrow {0,1} = \left\{\begin{matrix} 1 si x \epsilon X \\ 0 si x no \epsilon X \end{matrix}\right.\]

a) Dar \[X_{\o }\]
b) Dar \[X_{A }\]
c) Si Y = A - X, comparar \[X_{x}\] con \[X_{y}\]
d) Mostrar que X = Y \[\Leftrightarrow \] \[X_{x}\] = \[X_{y}\]

Gracias de antemano!

Te doy una mano con el de producto cartesiano...

\[\{a,b\} \times A = (\{a\} \times A) \cup (\{b\} \times A)\]

Suponete que \[A = \{a_1, a_2, a_3, \dots\}\]. Entonces \[\{a, b\} \times A = \{(a, a_1), (a, a_2), \dots, (b, a_1), (b, a_2), \dots \}\].

Si encaramos por el otro lado, \[\{a\} \times A = \{(a, a_1), (a, a_2), \dots \}\]. Mismo razonamiento para \[\{b\} \times A\]. Fijate que podés encontrar esos mismos conjuntos arriba:

\[\{a, b\} \times A = \{\underbrace{(a, a_1), (a, a_2), \dots}_{\{a\} \times A}, \underbrace{(b, a_1), (b, a_2), \dots}_{\{b\} \times A} \}\]

Entonces deberías poder separarlos y escribir todo como la unión de 2 conjuntos, que es lo que te piden probar