Si tengo que la primera derivada de una función es infinita positiva cuando la función tiende a un numero por la izquierda y que al tender a este numero por la derecha resulta infinito negativo, como seria el gráfico? Comprendo que se formaría un "pico" pero como saber la concavidad si no me señalan la función, es correcto si es cóncava o convexa sin mayores especificaciones? o necesariamente tiene que ser una de ellas?
Nose si me he expresado bien

Típico ejemplo es la tangente de x cuando x->pi/2.
Si no me equivoco (no recuerdo las definiciones estrictamente), en este caso se dice que no existe la derivada de la función en el punto. En general, si por derecha e izquierda no da exactamente lo mismo, entonces no existe la derivada en el punto.
Sobre la concavidad, es cóncava hacia arriba, o sea, la derivada siempre crece, excepto en el punto en cuestión, que no está definida.
Habría que ver si esto es siempre así.