Hola, mi consulta es sobre el ejercicio 5. Para resolver la ecuación de la parábola, hice un sistema de ecuaciones de 2x3, el cual no pude resolver porque nunca hice un sistema de ecuaciones con esas características. Leí por internet que se resuelve con completación de cuadrados, pero no entiendo cómo sería eso. Si se resuelve así, alguien me podría explicar cómo hacerlo? Y si hay otra forma de llegar a la ecuación de la parábola, también agradecería ayuda. Gracias!!

El enunciado es: determine la ecuación de la parábola.

Hola con 3 puntos vos podés formar la PARÁBOLA, y con 2 podés formar la RECTA.

Si observas la gráfica de la PARÁBOLA, esta pasa por la coordenada (0,0).
Entonces, tenés 3 puntos pertenecientes a la parábola: (1,3) (5,-5) (0,0), suficiente para sacar la parábola. (DEBAJO YA VIENE LA SOLUCIÓN, LO UE SIGUE TE CONVIENE HACERLO VOS SI CON ESTO TE DAS CUENTA COMO SEGUIR, PERO YO TE LO RESOLVI COMPLETO)
¿Por ué necesitas 3 puntos para resolver la ecuación de la Parábola?

La fórmula general de la parábola es :\[Ax^2+Bx+C=y\]
Es decir para resolver el sistema necesitamos 3 ecuaciones porue tenemos 3 incognitas A(Coef Cuad), B(Coef Lineal),C(Término Indep), las cuales la encontramos reemplazando por las coordenadas dadas uedando el sistema de la siguiente manera:
\[sistema= \left\{ \begin{array}{lcc} A+B+D=3 &por &(1,3)\in Parabola \\ \\ 25A+5B+D=-5 &por &(5,-5)\in Parabola \\ \\ D=0&por &(0,0)\in Parabola \end{array} \right.\]
Por lo tanto, podemos descartar D y nos ueda un Sistema de 2*2:
\[sistema= \left\{ \begin{array}{lcc} A+B=3 &por &(1,3)\in Parabola \\ \\ 25A+5B=-5 &por &(5,-5)\in Parabola \\ \end{array} \right.\]
Y acá podemos reemplazar o usar Gauss:
\[A=3-B\Rightarrow 25(3-B)+5B=-5\Rightarrow B=\frac{-75-5}{-25+5} =4\Rightarrow A=3-4=-1\]

El resultado es:\[y=-x^2+4x\]

Ah mirá! En un principio había dudado de contar como coordenada el (0,0), porque ya me pasó varias veces practicando, que en algunos ejercicios la gráfica no era exacta, y me terminaba saliendo mal el problema debido a eso.
Muchas gracias por la explicación completa igualmente, me sirve mucho.