Hola nuevamente, estoy en duda con las siguientes inecuaciones...

\[\left | \frac{12}{2x - 3} \right | > 4\]

y

\[\left | \frac{15}{3x - 4} \right | < 5\]

--
La primera empiezo a resolverla de este modo:

\[12 > 4 (2x - 3)\] \[\vee \] \[12 < -4 (2x - 3))\]
\[12 > 8x - 12\] \[\vee \] \[12 < -8x + 12\]
\[12 + 12 > 8x\] \[\vee \] \[...\]
\[3 > x\] \[\vee \] \[0 > x\]
\[x < 3\] \[\vee \] \[x > 0\]

Entonces la solución sería la siguiente:
\[S = (0;3) - \left \{ \frac{3}{2} \right \}.\]

Esta la entendí bien, porque si hago una recta numérica, justo las dos soluciones se encuentran "encerradas" entre paréntesis.
--

La segunda empecé a resolver de este modo...

\[15 < 5 (3x - 4)\] \[\vee \] \[15 > -5 (3x - 4))\]
\[15 < 15x - 20\] \[\vee \] \[15 > -15x + 20\]
\[\frac{7}{3} < x\] \[\vee \] \[x > \frac{1}{3}\]

Entonces ahora... la solución cuál sería? O sea...

\[S = (\frac{1}{}3;\frac{7}{3})\]

o

\[S = (-\propto ;\frac{1}{3}) \cup (\frac{7}{3};\propto )\]

Porque prácticamente son iguales en ese sentido, sólo que tienen la desigualdad cambiada. Eso influye en la respuesta? Cómo me doy cuenta cuándo es una unión de intervalos?

Gracias.

7/3=2,33
1/3=0,33

dice que x es menor a 2,33 y mayor a 0,33.. osea que es S = (1/3 ; 7/3).. pero x no puede tomar nunca el valor de 4/3 .. osea que
S = (1/3 ; 4/3) U (4/3 ; 7/3)

el primero esta ok... otra manera que tambien podes encarar los ejercicios de este tipo, cuando en una division ya un numero sea positivo es la siguiente.. por ejemplo

\[\left|\frac{12}{2x-3}\right|>4\]

por propiedad del valor absoluto de un cociente

\[\frac{12}{|2x-3|}>4\]

el numerador es un numero positivo.. no tiene sentido analizarlo en valor absoluto ... para que todo ese cociente sea positivo entonces se tiene que cumplir

\[|2x-3|>0\quad\mbox{con}\quad x\neq\frac{3}{2}\]

luego podes pasar sin problema el denominador multiplicando y no te cambia el sentido de la desigualdad

\[12>4|2x-3|\to |2x-3|<3\to -3<2x-3<3\to 0<x<3\]

como ves llegas a lo mismo

iNuu escribió:Cómo me doy cuenta cuándo es una unión de intervalos?

cuando la inecuacion sea con una desigualdad creciente estricta o no estricta sera union

cuando la inecuacion sea con una desigualdad decreciente estricta o no estricta sera interseccion.

Che pero como va a pasar multiplicando la X para el otro lado en una inecuacion? si vos tenes el 2x-3 no se puede pasar multiplicando por que x puede ser positiva o NEGATIVA. Si es negativa hay que cambiar el signo, tenes que igualarla a 0 y hacer comun denominador si no me equivoco

Hola, los resultados de ambos casos fueron: 7/3 < x Y x > 1/3

Esto te está diciendo que X es mayor a 7/3 Y que X es mayor a 1/3. Entonces el X > 1/3 no te sirve, porque ya sabes que X > 7/3, por lo que la solución sería:

S = (7/3;+∞)

\[\left | \frac{15}{3x - 4} \right | < 5\]


ALguien puede resolver este pero sin sacar el modulo de 15 ? es decir, aplicando la propiedad |X|<a = de x<a y de x>-a o |X|<a = -a<x<a al modulo entero como figura desde el principio.

Si utilizo la forma de resolucion que uso saga me da perfectamente. Pero aplicando la propiedad q mencione antes tmb deberia dar. Sin embargo me da x> 7/3 (que esta bien) y x> 1/3 cuando deberia dar x<1/3.

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A mi me da como dice bwk4u. Pero segun la resolucion del parcial x<1/3

(02-02-2014 21:20)marquitos01 escribió:  A mi me da como dice bwk4u. Pero segun la resolucion del parcial x<1/3

El parcial se la come. O el profesor que nos enseña esto jajaja.

De una u otra manera el resultado debe coincidir .... el parcial no se la come ... el profe no se... . no se porque cuesta tanto este tema en el ingreso... lo "peor" es que en analisis matematico 2 si no se acuerdan estas cosas y.. la van a sufrir un poco a ver.. aplicando propiedad de valor absoluto.

\[\left | \frac{15}{3x-4} \right |<5\to-5<\frac{15}{3x-4}<5\]

luego si paso el 15 dividiendo a ambos lados de la inecuacion obtengo

\[-\frac{1}{3}<\frac{1}{3x-4}<\frac{1}{3}\]

por "astucia matematica " y para ahorrar neuronas elevo todo a la -1 entonces

\[\left(-\frac{1}{3}\right)^{-1}<\left(\frac{1}{3x-4}\right)^{-1}<\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}\to -3>3x-4>3\]

tengo que resolver

\[3x-4>3\quad \vee\quad 3x-4<-3\]

de donde el intervalo solucion sera

\[x>\frac{7}{3}\quad\vee\quad x<\frac{1}{3}\]

el resultado de iNuu esta correcto

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(02-02-2014 20:30)Arielb escribió:  Che pero como va a pasar multiplicando la X para el otro lado en una inecuacion? si vos tenes el 2x-3 no se puede pasar multiplicando por que x puede ser positiva o NEGATIVA. Si es negativa hay que cambiar el signo, tenes que igualarla a 0 y hacer comun denominador si no me equivoco

esta bien lo que decis... pero como dije antes ... 12 ya es un numero positivo ... no tiene sentido analizarlo en valor absoluto... ahora como tengo una desigualdad creciente... para que se cumpla ese

cociente.. necesariamente el denominador debe ser mayor a 0 .... hecho ese analisis ya podes pasar multiplicando tranquilamente el valor absoluto sin que te cambie el signo de la desigualdad porque

ya dijiste que todo ese valor absoluto sera mayor a 0... se entiende ???

Igual no entiendo por qué haciendolo como voy a mostrar ahora, me da un signo distinto, si la propiedad es la misma.

\[\frac{15}{3X-4}< 5 \]
\[15< 15X-20\]
\[\frac{7}{3} < X\]

\[\frac{15}{3X-4}> -5 \]
\[15> -15X+20\]
\[\frac{-5}{-15}< X\]
\[\frac{1}{3}< X\]

En este último, cuando paso el negativo que divide a la X, no tengo que invertir el signo?

de esa manera falta analizar cuando es negativo y positivo el denominador bwk4u

(03-02-2014 20:05)bwk4u escribió:  Igual no entiendo por qué haciendolo como voy a mostrar ahora, me da un signo distinto, si la propiedad es la misma.

\[\frac{15}{3X-4}< 5 \]
\[15< 15X-20\]
Aca, cuando pasaste "3x-4" multiplicando, no consideraste que puede ser o negativo o positivo.
\[\frac{7}{3} < X\]

\[\frac{15}{3X-4}> -5 \]
\[15> -15X+20\]
\[\frac{-5}{-15}< X\]
\[\frac{1}{3}< X\]

En este último, cuando paso el negativo que divide a la X, no tengo que invertir el signo?
Sí, tendrías que invertirlo porque estas multiplicando por -1 a ambos lados.

Tienen razón, me faltó considerar los 2 casos para el denominador, ahora sí, gracias!

(03-02-2014 13:40)Saga escribió:  De una u otra manera el resultado debe coincidir .... el parcial no se la come ... el profe no se... . no se porque cuesta tanto este tema en el ingreso... lo "peor" es que en analisis matematico 2 si no se acuerdan estas cosas y.. la van a sufrir un poco a ver.. aplicando propiedad de valor absoluto.

\[\left | \frac{15}{3x-4} \right |<5\to-5<\frac{15}{3x-4}<5\]

luego si paso el 15 dividiendo a ambos lados de la inecuacion obtengo

\[-\frac{1}{3}<\frac{1}{3x-4}<\frac{1}{3}\]

por "astucia matematica " y para ahorrar neuronas elevo todo a la -1 entonces

\[\left(-\frac{1}{3}\right)^{-1}<\left(\frac{1}{3x-4}\right)^{-1}<\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}\to -3>3x-4>3\]

tengo que resolver

\[3x-4>3\quad \vee\quad 3x-4<-3\]

de donde el intervalo solucion sera

\[x>\frac{7}{3}\quad\vee\quad x<\frac{1}{3}\]

el resultado de iNuu esta correcto

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Cuando elevás todo a la -1, invertís el signo de la desigualdad también?

Che, esto no esta mal saga?



Por transitividad, quedaría -3 > 3, absurdo

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No encontre nada sobre si se invierte o no...yo trataría de no elevar una inecuacion a un exponente negativo.
Probando llegue a esto:

Hipótesis:

\[a > b \ \ , a \neq 0\ \ ,\ \ b \neq 0 \]

Tesis:

\[\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\]


Demostracion:

Considero 4 casos.
1)a y b positivos
2)a y b negativos
3)a positivo, b negativo
4)a negativo, b positivo

1)

\[a > b \Rightarrow 1 > \frac{b}{a}\Rightarrow\frac{1}{b}>\frac{1}{a} \Rightarrow \frac{1}{a}<\frac{1}{b}\]

Acá no hubo cambios del sentido de la desigualdad (excepto el ultimo, que simplemente "miro la ecuación al reves")

2)

\[a > b \Rightarrow 1 < \frac{b}{a}\Rightarrow\frac{1}{b}>\frac{1}{a} \Rightarrow \frac{1}{a}<\frac{1}{b}\]

Acá hay 2 cambios, porque se pasan "a" y "b" multiplicando.

3)
\[a > b \Rightarrow 1 > \frac{b}{a}\Rightarrow\frac{1}{b}<\frac{1}{a} \Rightarrow \frac{1}{a}>\frac{1}{b}\]
Aca hay un solo cambio. Fijense que en este caso, cuando a es positivo y b es negativo, no se cumple.

Veamos un contraejemplo:

3 > -2, elevando a la -1, queda 1/3 < -1/2

4) Acá me trabé, pero fijense que si a es negativo y b es positivo, entonces nunca a > b. Así que este caso lo descarto.

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Es decir, que basicamente, para poder elevar una inecuacion "a > b" a la -1, tienen que ser del mismo signo "a" y "b".

(11-02-2014 15:11)sentey escribió:  Che, esto no esta mal saga?



Por transitividad, quedaría -3 > 3, absurdo

pero no podes aplicar transitividad ahi... la x no esta "solita" los valores que suman restan o multipliquen a la variable , hacen que varie el numero que esta ahi incluido de hecho si seguimos con el abuso de notacion que use nos queda resolviendo

\[1>3x>7\to \frac{1}{3}>x>\frac{7}{3}\]

aclaro que es un abuso de notacion , confunde muchas veces el escribir las desigualdades crecientes de la manera que lo hice

por ende

\[x>\frac{7}{3}\quad \vee\quad x<\frac{1}{3}\]

no podes aplicar transitividad sin antes dejar sola la variable, por ejemplo si tengo, nuevamente abusando de la notacion

\[-5>x^3-x^2+x-1>1\]

podes afirmar apriori que eso es un absurdo ???