Hola gente, estaba practicando ejercicios para el parcial (no voy a la UTN, no creo que haya problema...) y me surgieron un par de dudas con respecto a las propiedades.

La matriz que tengo es la siguiente:


Pude demostrar que NO es reflexiva con un contraejemplo

Tomando X=1 nos da FALSO

El problema son las siguientes propiedades (simetria, antisimetria y transitividad). No puedo encontrar contraejemplos, por lo que la relacion seria:
- NO REFLEXIVA
- ANTISIMETRICA
- SIMETRICA
- TRANSITIVA

Es posible? Desde ya muchas gracias.

Hola!

Para empezar sabemos que la relación R (la llamo así porque no especificaste) tiene como único elemento el par (x,y) (ya que hay un único 1 en la matriz asociada a R). Entonces nos queda que:

\[R = \left \{ \left ( x,y \right ) \right \}\]

Ahora probemos las 4 propiedades:

1) Reflexividad (\[\forall x \in A:\left ( x,x \right ) \in R\])

Esto es falso, puesto que, como escribiste, \[\exists x \in A: \left ( x,x \right ) \notin R\].

2) Simetría (\[\forall \left (x, y \right ) \in A: \left ( x,y \right ) \in R \Rightarrow \left ( y,x \right ) \in R\])

Esto es falso, puesto que \[\exists \left ( x,y \right ) \in A: \left ( x,y \right ) \in R \wedge \left ( y,x \right ) \notin R\].

(recordemos que si tenemos un "si... entonces", al negar ese condicional 1) se invierten los cuantificadores, y 2) uso la Negación del Condicional).

3) Antisimetría (\[\forall \left ( x,y \right ) \in A: \left [\left ( x,y \right ) \in R \wedge \left ( y,x \right ) \in R \right ] \Rightarrow x=y\])

Esto es verdadero, puesto que el valor de verdad de \[\left ( x,y \right ) \in R\] es V, y el valor de verdad de \[\left ( y,x \right ) \in R\] es F, tenemos que todo el valor de verdad del antecedente es F, así que independientemente del valor de verdad del consecuente, la propiedad antisimétrica se cumple.

4) Transitividad (\[\forall \left ( x,y,z \right ) \in A : \left [\left ( x,y \right ) \in R \wedge \left ( y,z \right ) \in R \right ] \Rightarrow \left ( x,z \right ) \in R\])

Esto es verdadero. Acá, al no tener ningún valor de \[z\] podemos elegir cualquiera (supongo que el mismo \[z\] funciona). Entonces se demuestra de la misma manera que 3), ya que hay un antecedente F (V y F da F).


Saludos!