Hola gente me podrían dar una mano:

Tengo este ejercicio y llego a un punto que no se que hacer. Tengo que probar por inducción que

\[3 \times 5^{2n + 1} + 2^{3n +1}\] es divisible por 17

Hago los pasos:
I)

\[3 \times 5^{((2x 1) + 1} + 2^{(3x1) +1} = 391\] que es divisible por 17

II) n = k

\[3 \times 5^{2k + 1} + 2^{3k +1}\] que asumo que es divisible por 17.

III) n = k + 1

\[3 \times 5^{2 x (k + 1) + 1} + 2^{3 x (k + 1) +1}\] resolviendo me queda

\[3 \times 5^{2k + 3} + 2^{3k + 4}\] después sigo y finalmente me queda

\[3 \times 5^{2k + 1} \times 5^{2} + 2^{3k + 1} \times 2^{3}\]

Y acá es cuando no se como seguir. Si me podrían dar una mano se lo agradecería mucho.

No recuerdo bien, pero fijate que en la práctica de verano de la materia hay un ejercicio parecido que está resuelto. Fijate si lo encontrás. Vendí la carpeta con los cuadernos de mis ejercitaciones y no lo tengo, sino te lo escaneaba y te lo pasaba. Sale por el pequeño teorema de Fermat.

Ahh ahora me fijo. Muchas gracias!!!

Saludos!!!!

Me crucé con una profesora de la materia que se copó y me explicó cómo hacerlo, adjunto su resolución:

   

Edit: el último comentario no es respecto al ejercicio, es otra cosa que me comentó.