Demostrar que R es una relacion de equivalencia

R: ZxZ -> Z
aRb --------->|a − 1| = |b-1|

Como se podria demostrar esto? Gracias desde ya!

Hola

(20-02-2019 16:20)brunozzz escribió:  Demostrar que \(\mathcal R\) es una relación de equivalencia \(\mathcal R: \Bbb Z\times\Bbb Z\to\Bbb Z\quad a\mathcal Rb\iff|a-1|=|b-1|.\) ¿Cómo se podría demostrar esto?

¿Qué intentaste? Es recomendable que nos muestres tus intentos y errores para poder ayudarte mejor. Además es recomendable que utilices LaTeX para escribir las expresiones matemáticas.

Se trata de un ejercicio típico de relaciones de equivalencia. Tenés que probar que \(\mathcal R\) es una relación de equivalencia, o sea que satisface las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.

Por ejemplo probemos la segunda. Sea \((a,b)\in\Bbb Z\times\Bbb Z\). Entonces \[a\mathcal Rb\implies|a-1|=|b-1|\implies|b-1|=|a-1|\implies b\mathcal Ra.\] ¿Conocés las otras propiedades?

Saludos.

Hola! Gracias por responder. En realidad la definición de las propiedades las conozco, pero solo basta enunciarlas para demostrarlas? No hay que hacer ningún proceso algebraico? por ejemplo usando las propiedades del valor absoluto? Lo que me confunde es como hacer para demostrarlas, el procedimiento digamos.

Hola

(21-02-2019 02:35)brunozzz escribió:  En realidad la definición de las propiedades las conozco, ¿pero solo basta enunciarlas para demostrarlas? ¿No hay que hacer ningún proceso algebraico? ¿por ejemplo usando las propiedades del valor absoluto? Lo que me confunde es cómo hacer para demostrarlas, el procedimiento digamos.

Ni siquiera hemos enunciado la propiedad simétrica, sino que la hemos aplicado. En este caso no es necesario hacer ninguna operación con el módulo, todo lo hace el signo igual. Podés abrir el valor absoluto pero en este caso es innecesario.

Hemos dicho que para probar la propiedad simétrica debemos considerar un elemento de \(\Bbb Z\times\Bbb Z\), por ejemplo el par \((a,b)\). Ahora si querés podemos enunciar la propiedad: si \(a\mathcal Rb\) entonces \(b\mathcal Ra\). Partamos de \(a\mathcal Rb\). Por definición de relación, esto implica que \(|a-1|=|b-1|\). Ahora bien, como la igualdad cumple la propiedad simétrica podemos escribir lo de antes como \(|b-1|=|a-1|\) y esto, otra vez por definición de relación, es igual a \(b\mathcal Ra\), que es a donde queríamos llegar.

Lo mismo para el resto de demostraciones. Considerá un elemento cualquiera del dominio, aplicá la definición de la propiedad que quieras probar y tratá de llegar a lo que querés demostrar mediante propiedades que conozcas.

Saludos.