Este es un ejercicio del recuperatorio del Primer Parcial 2013.
Es de inducción, pero nunca me había cruzado con una relación de recurrencia de este tipo en las prácticas y no se como resolverlo.

Ese n-3 me desconcertó...

Alguien puede darme una mano?

Sucede que como trabajas en números naturales, no podes usar un n<=3, básicamente porque si pones n=2 (por ejemplo) te queda el tercer miembro de la derecha como a(sub)-1 (porque al -a(sub)n-3 teniendo n=2 te queda -a(sub)2-3=-a(sub)-1). ¿se entiende? no tiene mucha vuelta, el ejercicio se resuelve como el resto de los presentados en clases y parciales, salvo por ese detalle.

(29-01-2014 21:25)wasol escribió:  Sucede que como trabajas en números naturales, no podes usar un n<=3, básicamente porque si pones n=2 (por ejemplo) te queda el tercer miembro de la derecha como a(sub)-1 (porque al -a(sub)n-3 teniendo n=2 te queda -a(sub)2-3=-a(sub)-1). ¿se entiende? no tiene mucha vuelta, el ejercicio se resuelve como el resto de los presentados en clases y parciales, salvo por ese detalle.

Hola. Estuve de vacaciones y no pude responderte antes, pero ya volví, en 3 días tengo este exámen y la verdad que no entiendo como resolverlo.
A ver, esta es una relación de recurrencia orden 3, no encontré ejercicios similares en clase ni acá. En la guía de Piñeiro hay uno pero no está resuelto...

En los de orden dos se arma la ecuación característica y se hallan las raices r1 y r2

Luego llagamos a la solución general \[a_n = k_1 r_1^n + k_2 r_2^n\]

Order 2, tengo 2 raices, dos constantes que obtendré usando las 2 condiciones iniciales dadas, hasta ahí todo bien.
En este ejercicio de orden 3 las raices de la ecuación característica (polinomio grado 3) son 2 (1 y -1).
Tengo entonces que armar la solución general con 2 términos, uno por cada raíz?
O armo 3 términos repitiendo una de las raices y agregando la n como en las de orden 2 con raices iguales?

???

Necesito ayuda. jaja

Armá con los 3 términos, sino cuenta como mal hecho el ejercicio. Aunque te dé 0 esa raíz, tenes que mandarla porque es de orden 3 y debe reflejarse.

Si esa era tu duda, espero la entiendas. Pero si era otra, no logro captar lo que dices u.u

(09-02-2014 21:04)wasol escribió:  Armá con los 3 términos, sino cuenta como mal hecho el ejercicio. Aunque te dé 0 esa raíz, tenes que mandarla porque es de orden 3 y debe reflejarse.

Si esa era tu duda, espero la entiendas. Pero si era otra, no logro captar lo que dices u.u

Ok. Entonces la solución general quedaría
\[a_n = \frac{1}{2} 1^n + \frac{1}{2} (-1)^n\]

El 0 no es una raíz porque la ecuación característica tiene termino independiente. Las raices son 1 y -1.

Esta solución general cumple con las 3 condiciones iniciales dadas.
Pero no se si es correcta, no logro demostrarlo por inducción.

No anda Latex :| no mandes cosas por ahí porque no llegan.

Cuando dije 0, fue un ejemplo, que tenes que mandarlo igual. De todos modos, si es de orden 3, tiene que haber tres raíces en total...

Ah, pensé que era mi navegador que no me mostraba lo de LaTeX.

Subo una posible demostración por inducción de la solución general An = 1/2 1^n + 1/2 (-1)^n

Opiniones?
Está bien esto?

Como que falta una raíz... luego lo miro bien y te digo. Pero ese ejercicio creo que era del primer recuperatorio del ciclo 2013, ¿no?

(10-02-2014 00:07)wasol escribió:  

Como que falta una raíz... luego lo miro bien y te digo. Pero ese ejercicio creo que era del primer recuperatorio del ciclo 2013, ¿no?

Correcto, primer recuperatorio del año pasado.

Casualmente ese ejercicio me lo tomaron mal y lo tengo hecho como vos. Pero no entiendo la lógica que hay que seguir cuando hay raíz doble. Es para consultar a alguna profesora en puntual

Por las dudas que alguien vea esto, cuando la raiz resulta ser de multiplicidad mayor a 1 (por ejemplo, la raiz doble sería de multiplicidad 2) la solución general es: \[a_{n} = q^{n} \wedge a_{n} = n.q^{n} \wedge a_{n} = n^{m-1}.q\].

Usando de ejemplo el ejercicio planteado acá en el que la raiz doble es 1/2, quedaría que:

\[a_{n} = \left ( \frac{1}{2} \right )^{n} \wedge a_{n} = n.\left ( \frac{1}{2} \right )^n\].

Por lo tanto la solución general es:

\[a_{n} = K_{1}.\left ( \frac{1}{2} \right )^{n}+ K_{2}.n.\left ( \frac{1}{2} \right )^n\].