Gente, el ejecicio 2 . el punto que me pide sacar la condicion que deben cumplir a y b para que la funcion transferencia tenga polos complejos conjugados y que el sistema sea estable. En las imagenes que yo subo hice que el determinante del denominador tiene que sea <0 para que de raices complejas conjugadas, y toda la ecuacion resolvente tiene que tener modulo menor a 1 para que sea estable. el tema que de ahi no puedo sacar una expresion clara de los valores a y b para que cumplan lo que se pide.



Y ademas, en el ejercicio 3.b , tengo un problema.
Si yo quiero separar en parte real e imaginaria lo siguiente:\[\frac{1}{1+j2\pi s}\] , yo primero pense en pasarlo a polar es decir \[\rho e^{j\varphi }\] pero la realidad es que qeuda un coseno de un arcotangente , osea cualquier mierr.

Bueno si alguno ya resolvio este final le estoy agradecido, un abrazo

El 2b, en la parte que te pide que sea estable, yo lo encararía de otra manera, imponiendo que la parte real de las raíces sea menor a 0, para que los polos estén en el semiplano izquierdo, que es la condición de estabilidad. Entonces, partiendo de la condición de raíces complejas conjugadas:

\[Re\left \{ \frac{-a\pm \sqrt{a^2-4b}}{2} \right \}=Re\left \{ \frac{-a\pm j\sqrt{4b-a^2}}{2} \right \}=-\frac{a}{2}\]

Aplicando la condición de estabilidad:

\[-\frac{a}{2}<0\Rightarrow a>0\]

Combinando esta condición con la de complejos conjugados:

\[0<a<2\sqrt{b}\]

En el otro ejercicio, para separar la parte real e imaginaria, multiplicá numerador y denominador por el conjugado del denominador y aplicá diferencia de cuadrados. Con eso te va a quedar la parte real separada de la imaginaria.

Saludos.

(04-08-2013 20:47)pablo.m escribió:  El 2b, en la parte que te pide que sea estable, yo lo encararía de otra manera, imponiendo que la parte real de las raíces sea menor a 0, para que los polos estén en el semiplano izquierdo, que es la condición de estabilidad. Entonces, partiendo de la condición de raíces complejas conjugadas:

\[Re\left \{ \frac{-a\pm \sqrt{a^2-4b}}{2} \right \}=Re\left \{ \frac{-a\pm j\sqrt{4b-a^2}}{2} \right \}=-\frac{a}{2}\]

Aplicando la condición de estabilidad:

\[-\frac{a}{2}<0\Rightarrow a>0\]

Combinando esta condición con la de complejos conjugados:

\[0<a<2\sqrt{b}\]

En el otro ejercicio, para separar la parte real e imaginaria, multiplicá numerador y denominador por el conjugado del denominador y aplicá diferencia de cuadrados. Con eso te va a quedar la parte real separada de la imaginaria.

Saludos.

pablo.m,
la condicion de estabilidad para un sistema causal, es que todos los polos esten dentro de \[\left \| z \right \| < 1\] . No necesariamente tienen que estar del lado negativo real, mientras esten dentro de \[\left \| z \right \| < 1\] ya es estable.

(05-08-2013 11:34)nanohueso escribió:  

(04-08-2013 20:47)pablo.m escribió:  El 2b, en la parte que te pide que sea estable, yo lo encararía de otra manera, imponiendo que la parte real de las raíces sea menor a 0, para que los polos estén en el semiplano izquierdo, que es la condición de estabilidad. Entonces, partiendo de la condición de raíces complejas conjugadas:

\[Re\left \{ \frac{-a\pm \sqrt{a^2-4b}}{2} \right \}=Re\left \{ \frac{-a\pm j\sqrt{4b-a^2}}{2} \right \}=-\frac{a}{2}\]

Aplicando la condición de estabilidad:

\[-\frac{a}{2}<0\Rightarrow a>0\]

Combinando esta condición con la de complejos conjugados:

\[0<a<2\sqrt{b}\]

En el otro ejercicio, para separar la parte real e imaginaria, multiplicá numerador y denominador por el conjugado del denominador y aplicá diferencia de cuadrados. Con eso te va a quedar la parte real separada de la imaginaria.

Saludos.

pablo.m,
la condicion de estabilidad para un sistema causal, es que todos los polos esten dentro de \[\left \| z \right \| < 1\] . No necesariamente tienen que estar del lado negativo real, mientras esten dentro de \[\left \| z \right \| < 1\] ya es estable.

Esa condición de estabilidad es para transformada Z.
La condición de estabilidad para Laplace, es, como dijo pablo.m que los polos estén en el semiplano izquierdo es decir que sin interesar la parte imaginaria, la parte real de los polos tiene que ser menor a 0. Y por otro lado la condición de complejos conjugados, con el determinante <0.

---

El 3.b) sale así

\[F(e^{-at}u(t))=\frac{1}{a+jw}\]

Separar en parte Real y Parte Imaginaria, multiplicando por el conjugado.

\[\frac{1}{a+jw}*\frac{a-jw}{a-jw}=\frac{a-jw}{a^{2}+w^{2}}=\frac{a}{a^{2}+w^{2}}-j\frac{w}{a^{2}+w^{2}}\]

\[Re\left \{ F(e^{-at}u(t))\right \}=\frac{a}{a^{2}+w^{2}}\]

\[Im\left \{ F(e^{-at}u(t))\right \}=-\frac{w}{a^{2}+w^{2}}\]

Reemplazando \[w=2\pi s\] y restando llegas. Saludos!

(05-08-2013 15:27)besthandball2010 escribió:  

(05-08-2013 11:34)nanohueso escribió:  

(04-08-2013 20:47)pablo.m escribió:  El 2b, en la parte que te pide que sea estable, yo lo encararía de otra manera, imponiendo que la parte real de las raíces sea menor a 0, para que los polos estén en el semiplano izquierdo, que es la condición de estabilidad. Entonces, partiendo de la condición de raíces complejas conjugadas:

\[Re\left \{ \frac{-a\pm \sqrt{a^2-4b}}{2} \right \}=Re\left \{ \frac{-a\pm j\sqrt{4b-a^2}}{2} \right \}=-\frac{a}{2}\]

Aplicando la condición de estabilidad:

\[-\frac{a}{2}<0\Rightarrow a>0\]

Combinando esta condición con la de complejos conjugados:

\[0<a<2\sqrt{b}\]

En el otro ejercicio, para separar la parte real e imaginaria, multiplicá numerador y denominador por el conjugado del denominador y aplicá diferencia de cuadrados. Con eso te va a quedar la parte real separada de la imaginaria.

Saludos.

pablo.m,
la condicion de estabilidad para un sistema causal, es que todos los polos esten dentro de \[\left \| z \right \| < 1\] . No necesariamente tienen que estar del lado negativo real, mientras esten dentro de \[\left \| z \right \| < 1\] ya es estable.

Esa condición de estabilidad es para transformada Z.
La condición de estabilidad para Laplace, es, como dijo pablo.m que los polos estén en el semiplano izquierdo es decir que sin interesar la parte imaginaria, la parte real de los polos tiene que ser menor a 0. Y por otro lado la condición de complejos conjugados, con el determinante <0.

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El 3.b) sale así

\[F(e^{-at}u(t))=\frac{1}{a+jw}\]

Separar en parte Real y Parte Imaginaria, multiplicando por el conjugado.

\[\frac{1}{a+jw}*\frac{a-jw}{a-jw}=\frac{a-jw}{a^{2}+w^{2}}=\frac{a}{a^{2}+w^{2}}-j\frac{w}{a^{2}+w^{2}}\]

\[Re\left \{ F(e^{-at}u(t))\right \}=\frac{a}{a^{2}+w^{2}}\]

\[Im\left \{ F(e^{-at}u(t))\right \}=-\frac{w}{a^{2}+w^{2}}\]

Reemplazando \[w=2\pi s\] y restando llegas. Saludos!

Barbaro, muchas gracias