Buenas, tengo una duda respecto del siguiente ejercicio que me tomaron en un final.

Analizar si la siguiente proposición es verdadera o falsa, justificando la respuesta.
(D, + , . , ' , 0 , 1) es un álgebra de Boole, entonces \[a'b + (abc)' + c(b' + a) = b' + c'\] (explica la propiedad que utiliza en cada caso).

El problema es que se me produce un embole terrible de propiedades y nunca llego a un mismo resultado, y siempre, pero siempre, aparece uno de estos en los finales.

Saludos!

Hola

(22-02-2019 11:06)gulu escribió:  Analizar si la siguiente proposición es verdadera o falsa, justificando la respuesta.
\((D, + , \cdot , ' , 0 , 1)\) es un álgebra de Boole, entonces \[a'b + (abc)' + c(b' + a) = b' + c'\] (explica la propiedad que utiliza en cada caso).

El problema es que se me produce un embole terrible de propiedades y nunca llego a un mismo resultado, y siempre, pero siempre, aparece uno de estos en los finales.

La proposición es falsa.

Como contraejemplo, podés tomar \(D=D_{15}\) (todos los divisores de \(15\)). Por una conocida propiedad, \((D,+,\cdot,',0,1)\) es Álgebra de Boole puesto que \(15\) puede descomponerse como producto de primos únicos. El diagrama de Hasse es:


Sean por ejemplo \(a=1\), \(b=3\) y \(c=15\). Entonces \(a'=15\), \(b'=5\) y \(c'=1\). Entonces \begin{align*}a'b+(abc)'+c(b'+a)&=15\cdot3+(1\cdot3\cdot15)'+15\cdot(5+1)\\&=3+15+5\\&=15,\end{align*} pero \begin{align*}b'+c'&=5+1\\&=5,\end{align*} por tanto la proposición es falsa.

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Otra manera es a través de sus tablas de verdad asociadas, recordando que \(\cdot\) representa el \(\mathrm{AND}\) lógico y el \(+\) es el \(\mathrm{OR}\) lógico: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline a&b&c&a'&b'&c'&a'b&abc&(abc)'&b'+a&c(b'+a)&a'b+(abc)'+c(b'+a)\\\hline \mathrm V&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm V\\\hline \mathrm V&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm V\\\hline \mathrm V&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm V\\\hline \mathrm V&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm V\\\hline \mathrm F&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm V\\\hline \mathrm F&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm V \\\hline \mathrm F&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm V \\\hline \mathrm F&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm V \\\hline \end{array}\] y \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline b&c&b'&c'&b'+c' \\\hline \mathrm V&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm F \\\hline \mathrm V&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm V \\\hline \mathrm F&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm V \\\hline \mathrm F&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm V \\\hline \end{array}\] Como ambas tablas de verdad arrojan distintos resultados, concluimos que la proposición dada es falsa.

Saludos.

Hola, gracias por tu respuesta. Lo que vos me decís está perfecto, pero necesito resolverlo con las propiedades de sustitución de álgebra de Boole. A mí me quedó lo siguiente, pero no sé si está bien:



Que también es Falso.

Hola

Es recomendable que escribas la expresiones matemáticas utilizando LaTeX. Por otra parte, se sugiere que las imágenes sean subidas directamente al foro en vez de a servidores externos, ya que estos suelen caerse a menudo.

(25-02-2019 03:21)gulu escribió:  A mí me quedó lo siguiente, pero no sé si está bien:



Que también es Falso.

No. Si comparamos las tablas de verdad de cada expresión vemos que cada una tiene \(7\) filas verdaderas y una falsa. La expresión a la que llegaste es únicamente falsa cuando \(v(a)=v(b)=v( c)=\mathrm V\), por lo que en ese caso la proposición sí sería verdadera.

Hasta \(a'+b'+c'+ca\) bien. Lo que viene está mal: \(a'+b'+c'c+c'a\), ya que la distributiva está actuando sobre una conjunción y no una disyunción. Debe ser \(a'+b'+(c'+a)(c'+c)\), y como \(c'+c=1\) luego \(a'+b'+(c'+a)1=a'+b'+c'+a\). Aplicando la propiedad asociativa, \(a+a'+b'+c'\), y como \(a+a'=1\) entonces \(1+b'+c'\), de donde \(1\) es el absorbente para la disyunción, así que finalmente tenemos \(1\), que es lo mismo que habíamos obtenido con la primera tabla: todas las filas con verdaderos.

Saludos.

Hola!

Sí, tenés razón, después me di cuenta del error y finalmente llegué al mismo resultado que vos.

Muchas gracias por tu tiempo, saludos!