Buen dia a todos, usualmente no soy de postear en el foro pero me surgio una duda que todavia no pude descifrar sobre las derivadas direccionales.

Hay ejercicios que me piden la existencia de las derivadas direccionales.

Yo lo que hago es aplicar la definicion usando un vector generico u=(u, v)
Generalmente me pasa que la variable sobre la que estoy aplicando el limite (digamos t) se cancela y en la funcion solo me termina quedando u y v.

Mi duda es para que una funcion sea derivable en un punto para toda direccion, la derivada de cada direccion tiene que dar el mismo valor? o pueden dar valores distintos?

Por ejemplo, me termina quedando asi:

\[\lim _{t \rightarrow 0} u + v\]

la funcioa es derivable en toda direccion por mas que dependa de los valores que toma u y v?

En el caso que sea asi
en este otro ejemplo:

\[\lim _{t \rightarrow 0} \frac{u + v}{u^2 + v^2}\]

la funcion seria derivable en toda direccion menos en \[(u, v) = (0, 0)\]?


Espero que se entienda lo que quiero decir, muchas gracias a todos.

Hola...
Mira si tenes una fución por partes te va a quedar para una parte por ejemplo A y para la otra parte 2B entonces depende si el versor es del tipo: (0,b) o (a,b) o (0,a) depende de que resultado tenes que usar.
En tu caso si tomas un versor u=(a,b) y te queda el resultado: (u+v)/(u^2+v^2) eso quiere decir que si por ejemplo tomas un versor: (1,2) donde esta u pones 1 donde esta v pones el 2 y el valor de la derivada en esa dirección da lo que te quede... en este caso: 3/5

Entonces si te dicen existencia en toda dirección y te queda eso te estaría quedando que existe derivada para toda dirección..

Ahora si por ejemplo te queda en dos ramas una: 5B y en la otra rama te queda: b/h (t en tu caso) acá fijate que la derivada existe si b=0 y el valor que toma es 0 directamente, ahora si b!=0 como no puedo dividir por 0 ya que no se puede hablar de infinito en este caso te queda que no existe la derivada..
Entonces tu solución sería:

5B si se cumple que el versor es de tal forma.
0 si el versor es de una forma "b" y b = 0
no existe si el versor es de forma "b" y b!=0

No se si me explico.. se ve re bien en un ejercicio cualquier cosa me decís y te paso algo mas formal hecho por mí.

Ya lo entendí.

Muchas Gracias.

De nada, cualquier cosa me avisas.