Gente,
Alguno me podrá decir si esta bien como estoy planteando este ejercicio?

Ejercicio:
Calcule el area de S definida por \[z^{2} = x^{2} + y ^{2}\] con \[x^{2} + y ^{2} + z^{2} \leq 2 \] y \[z\geq 0\]


Yo hice lo siguiente:

1) parametrice la superficie (aca tengo dudas):
x = cos t
y = sen t
z = u

\[0\leq t\leq \pi\]


luego reemplazé la parametrizacion en la superficie de corte y me quedó \[u\leq \sqrt{2}\]

Luego de plantear producto entre vectores me queda:

\[Area \int \int do\]

\[\int \int 1 du dv\]

\[\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\sqrt{2}} du dv \] = \[\sqrt{2} \pi\]


Esta bien? Mi principal duda es cuando parametrizar la superficie, y cuando plantear gradiente. No se cuando agarrar cada camino.

el gradiente es un caso particular de la parametrizacion , la definicion general para el calculo de area es

\[A=\iint ||g'_u\times g'_v|| dudv\]

la ventaja es que no te tenes que calentar sobre cual plano proyectar o sobre los limites de integracion , salen solitos con la parametrizacion .

Como te dije el gradiente es una "formula" a la que se llega partiendo de la def que puse al iniciar el mensaje

PD, no revise las cuentas, pero el gradiente de los elementales da 1??