Buenas. Tengo dificultades con el siguiente ejercicio.

Determine una base y la dimensión de S+T para los siguientes subespacios.
V=\[\mathbb{R}^{2x2}\]
S={(\[x_{1}\],\[x_{2}\],\[x_{3}\],\[x_{4}\])\[\epsilon \]\[\mathbb{R}^{2x2}\]/ A es diagonal}
T= gen {\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\],\[\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\]}

Calculo una base de S que me da \[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\] y \[\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\].
Y los generadores de T serían su base.
Pero cuando hago la unión de las dos bases me queda que la dim(S+T)=4 cuando tendría que ser 3. El resultado del libro queda que S+T está generado por los generadores de S y un solo generador de T, pero no entiendo el por qué.
Agradecería ayuda!!

La base de S está bien, lo que pasa es que cuando haces la suma, tenes que verificar si son linealmente independientes, o no. En este caso, con la base de S y uno de los elementos de la base de T, podes generar el otro, por lo que son linealmente dependientes. Eliminas uno y te queda un espacio de dimension 3