Buenas. Tengo problemas para resolver este ejercicio:

Sean los vectores u=(1,2,1) y v=(2,-1,-1). Encuentre un vector de norma 4 ortogonal a u y v ¿Es único?

Plantié el vector W=(A,B,C). Como es ortogonal a U y V dije que U.W=0 y V.W=0
Luego hago la norma de W igualándola a 4 pero no puedo despejar ninguno de los elementos de W.
¿Alguna idea?

Muchas gracias.

\[u=(1,2,1) v=(2,-1,-1)\]

w es ortogonal y de norma 4.

u.w= 0 u.v=0

Pero tambien podemos hacer el producto vectorial entre u y v , de eso sale un vector ortogonal a los dos.

\[UxV= (-1,3,-5)\]

Ahora, ese vector no tiene norma 4, tiene norma \[\sqrt{35}\]
Entonces?

Entonces lo que hago es esto:
Transformo al vector w en el siguiente vector:

W= (-a,3a,-5a)
Fijate que es el mismo vector, solo que tiene esa a delante de cada numero.

Ahora saco la norma y la fuerzo a que sea igual a 4

a^2 +9a^2 +25a^2 = 16 (este 16 es 4 al cuadrado)

Despejamos la a y nos queda lo siguiente:

\[(\frac{-4}{\sqrt{35}},\frac{12}{\sqrt{35}},\frac{-20}{\sqrt{35}})\]

Ese es un vector ortogonal a los dos dados y de norma 4.

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Acerca de si es unica, no, tenes el mismo vector pero de signo contrario. Hay dos soluciones nomas.

Gracias, no me di cuenta de hacer el producto vectorial entre los dos vectores !

Cualquier cosa, consultá!