Buenas... alguno me podría ayudar?

Sea la recta \[r: x+2y+z=2 ; x=k.y\]

Halle todos los valores \[k\in \Re\] tales que la distancia de la recta al origen sea d=2

Traté de armar la recta, buscando un vector director resultante del producto vectorial entre las dos normales de los planos.
Luego busqué un punto que tengan en común, encontré el (0,0,2)
Pero cuando planteo la ecuación de distancia, no puedo hallar k porque me queda un polinomio de grado 2 en el cual no puedo obtener raices reales.
Yo respondería que no existe k, pero seguro que lo estoy haciendo mal jaja. Ayuda!!

Acabo de hacer la cuenta, pero me dan dos numeros horribles.....estas seguro que eran esos planos?

Lamentablemente si, cómo hiciste?

La pucha, me habia equivocado en una cuenta, perdon. Ahora me da una ecuacion cuadratica pero sin ceros...

Lo que yo hice fue:
Saqué el producto vectorial entre los vectores (1,2,1) y el (1,-k,0).
El punto de encuentro me da diferente al tuyo.
Ya que x=Ky
y como X+2y+z=2, me quede z=2-2y-ky
El punto me queda: (ky,y,2-2y-ky). Si y=1, el punto es (k,1,-k). Igual puede que ambos sean pertenecientes a la recta...

Al final de la cuenta, como te comenté me dá una cuadrática sin ceros....igual es una cuenta muy larga y junto a esas K se me hace muy facil cometer algun error en la cuenta.

Hola chicos, a mi me quedó así.... No sé si habré hecho algo mal en las cuentas... Taylor sabrá corregirme

Edit: Saqué mi ejercicio porque está mal, me quedan dos raíces imaginarias

Gracias por la ayuda chicos..

una consulta... la fórmula de distancia de punto a recta no es

\[d(p,r)=\frac{||ABxU_{r}||}{||U_{r}||}\] ??

Cómo es en el numerador? Producto vectorial o escalar?

Es producto vectorial, como la escribiste ahi.

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Aye, fijate que en el primer producto vectorial se te olvido invertir el signo del versor j.

Fede, la formula que escribiste esta bien...es producto vectorial.

Ah, entonces me parece que la cuenta que hizo Aye debe estar mal ya que usó producto escalar

Perdón por la confusión, es producto vectorial... Desestimen mi ejercicio

Miren como me queda:

El director de la recta r será \[U_{r1}xU_{r2}[\tex][tex]U_{r}=\begin{vmatrix}1 &2 &1 \\ 1 &-k &0 \end{vmatrix}=(k,1,-k-2)\]

entonces r: (x,y,z)=(0,0,2)+t(k,1,-k-2)

Planteo \[d((0,0,0),r)=\frac{||(0,0,2)x(k,1,-k-2)||}{||(k,1,-k-2)||}\]

Llego a \[k^{2}+2k+4=0\] en donde me dan raices imaginarias

Fede tenés la resolución? En una de esas no está mal y las raíces imaginarias claramente dicen algo... Como por ejemplo, que no existen K para eso =)