Hola gente, tengo una duda sobre como encarar este ejercicio. Alguno me da una mano?

   

Hola

Es muy recomendable consultar la página oficial de la materia en su modalidad virtual que tiene todos los temas explicados con ejercicios: https://aga.frba.utn.edu.ar/

Por otro lado ¿qué intentaste? Es importante que nos digas qué hiciste para poder ayudarte mejor.

El enunciado es:

Enunciado escribió:Dados \(S=\operatorname{gen}\{(-a,-2,-8),(3,1,7)\}\) y \(T=\operatorname{gen}\{(4,a,11)\}\) subespacios de \(\Bbb{R}^3\):

1. Hallar \(a\in\Bbb{R}\) para que la suma \(S+T\) sea directa.
2. Para dichos valores, dar una base y dimensión de \(S+T\) y \(S\cap T\).

Para la primera parte la suma \(S+T\) es directa si y sólo si \(S\cap T=\{(0,0,0)\}\). Ahora bien \(S\) y \(T\) se pueden poner de esta forma: \[S=\left\{\omega\begin{pmatrix}-a\\-2\\-8\end{pmatrix}+\gamma\begin{pmatrix}3\\1\\7\end{pmatrix}\mid\omega,\gamma\in\Bbb{R}\right\},\quad T=\left\{\beta\begin{pmatrix}4\\a\\11\end{pmatrix}\mid\beta\in\Bbb{R}\right\}.\] Haciendo una observación se tiene que los vectores \((-a,-2,-8)\) y \((3,1,7)\) son LI (verificar) y que el vector \((4,a,11)\) es LI porque es diferente al nulo. En esas condiciones cada elemento de \(S\) y de \(T\) son generados con unicidad. La intersección lo constituyen los elementos tales que \[\omega\begin{pmatrix}-a\\-2\\-8\end{pmatrix}+\gamma\begin{pmatrix}3\\1\\7\end{pmatrix}=\beta\begin{pmatrix}4\\a\\11\end{pmatrix}\implies\begin{pmatrix}-a&3&4\\-2&1&-a\\-8&7&-11\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\omega\\\gamma\\\beta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}.\] Si hay varias soluciones la intersección tendrá varios elementos. En consecuencia para que la intersección sea sólo el elemento neutro el determinante de la matriz ha de ser distinto de cero. A partir de ahí es sencillo.

Saludos.

P.D. Edité el título del mensaje para hacerlo más atractivo.

Tremendo, ahora los ejercicios similares también me dan resultados coherentes. Solo tengo una duda que te permite afirmar que los vectores de S multiplicados por dos variable es igual al vector de T multiplicado por otra variable? (Segunda imagen). Se entiende mi pregunta?

(16-01-2020 23:15)manoooooh escribió:  Hola

Es muy recomendable consultar la página oficial de la materia en su modalidad virtual que tiene todos los temas explicados con ejercicios: https://aga.frba.utn.edu.ar/

Por otro lado ¿qué intentaste? Es importante que nos digas qué hiciste para poder ayudarte mejor.

El enunciado es:

Enunciado escribió:Dados \(S=\operatorname{gen}\{(-a,-2,-8),(3,1,7)\}\) y \(T=\operatorname{gen}\{(4,a,11)\}\) subespacios de \(\Bbb{R}^3\):

1. Hallar \(a\in\Bbb{R}\) para que la suma \(S+T\) sea directa.
2. Para dichos valores, dar una base y dimensión de \(S+T\) y \(S\cap T\).

Para la primera parte la suma \(S+T\) es directa si y sólo si \(S\cap T=\{(0,0,0)\}\). Ahora bien \(S\) y \(T\) se pueden poner de esta forma: \[S=\left\{\omega\begin{pmatrix}-a\\-2\\-8\end{pmatrix}+\gamma\begin{pmatrix}3\\1\\7\end{pmatrix}\mid\omega,\gamma\in\Bbb{R}\right\},\quad T=\left\{\beta\begin{pmatrix}4\\a\\11\end{pmatrix}\mid\beta\in\Bbb{R}\right\}.\] Haciendo una observación se tiene que los vectores \((-a,-2,-8)\) y \((3,1,7)\) son LI (verificar) y que el vector \((4,a,11)\) es LI porque es diferente al nulo. En esas condiciones cada elemento de \(S\) y de \(T\) son generados con unicidad. La intersección lo constituyen los elementos tales que \[\omega\begin{pmatrix}-a\\-2\\-8\end{pmatrix}+\gamma\begin{pmatrix}3\\1\\7\end{pmatrix}=\beta\begin{pmatrix}4\\a\\11\end{pmatrix}\implies\begin{pmatrix}-a&3&4\\-2&1&-a\\-8&7&-11\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\omega\\\gamma\\\beta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}.\] Si hay varias soluciones la intersección tendrá varios elementos. En consecuencia para que la intersección sea sólo el elemento neutro el determinante de la matriz ha de ser distinto de cero. A partir de ahí es sencillo.

Saludos.

P.D. Edité el título del mensaje para hacerlo más atractivo.

Hola

(17-01-2020 19:54)Nahufender escribió:  Sólo tengo una duda que te permite afirmar que los vectores de S multiplicados por dos variable es igual al vector de T multiplicado por otra variable? (Segunda imagen).

En la intersección están los elementos comunes a ambos subespacios. Los elementos de un subespacio son combinación lineal de \((-a,-2,-8)\) y \((3,1,7)\) y los del otro combinación lineal de \((4,a,11)\). Los elementos de la intersección son comunes a ambos y por tanto se pueden escribir simultáneamente como combiación lineal de los dos primeros o del tercero.

Otra forma de gestionar intersecciones de subespacios es utilizar sus ecuaciones implícitas. Las de un subespacio y las del otro unidas son las ecuaciones de la intersección.

Saludos.

(20-01-2020 17:00)manoooooh escribió:  Hola

(17-01-2020 19:54)Nahufender escribió:  Sólo tengo una duda que te permite afirmar que los vectores de S multiplicados por dos variable es igual al vector de T multiplicado por otra variable? (Segunda imagen).

En la intersección están los elementos comunes a ambos subespacios. Los elementos de un subespacio son combinación lineal de \((-a,-2,-8)\) y \((3,1,7)\) y los del otro combinación lineal de \((4,a,11)\). Los elementos de la intersección son comunes a ambos y por tanto se pueden escribir simultáneamente como combiación lineal de los dos primeros o del tercero.

Otra forma de gestionar intersecciones de subespacios es utilizar sus ecuaciones implícitas. Las de un subespacio y las del otro unidas son las ecuaciones de la intersección.

Saludos.

Entiendo! Mil gracias.