Hola gente acá traigo el primer parcial de analisis 2 cuatrimestral que tomó Hernandez.

5 y 6 son los ¨teoricos¨


Alguien sabe como se hace el 2? Llegué a que es continua y derivable, pero me falta saber como probar que es diferenciable. Como se hace? Gracias!


   

Pero el 2 no es diferenciable , basta tomar la curva que pasa por el origen

\[x=y^2-y\]

entonces

\[\lim_{y\to 0}\frac{y^2-y(y^2-y)}{y^2+y-y}=\lim_{y\to 0}\frac{y^2-y^3+y^2}{y^2}=\lim_{y\to 0}\frac{2y^2-y^3}{y^2}=\lim_{y\to 0}2-y=2\]

como f no es continua , entonces no es diferenciable

Si probaste que es continua y derivable, lo más común en estos ejercicios es que termine siendo no diferenciable en el punto que te dan.

Cuando analizas derivabilidad, llegas a la expresión de la derivada para toda dirección y sentido no? Entonces, podes sacar f´x y f´y para así formar el gradiente!.

Y por propiedad de los campos diferenciables sabes que:

\[f` (Xo, u) = \triangledown f(xo, yo) * u = (f`x(Xo), f`y(Xo))*u\]

\[\forall u \] siendo "u" un versor.

Entonces, si vos descubrís algún "u" en el cual no se cumple esa igualdad, quiere decir que la función no es diferenciable en Xo = (0,0) en este caso.

Usa algún "u" arbitrario que por lo general llegas a lo mismo.

Yo siempre uso:

\[(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) \] o \[(\frac{3}{5}, \frac{4}{5})\]

Contanos si salio así!

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(05-06-2014 13:47)Saga escribió:  Pero el 2 no es diferenciable , basta tomar la curva que pasa por el origen

\[x=y^2-y\]

entonces

\[\lim_{y\to 0}\frac{y^2-y(y^2-y)}{y^2+y-y}=\lim_{y\to 0}\frac{y^2-y^3+y^2}{y^2}=\lim_{y\to 0}\frac{2y^2-y^3}{y^2}=\lim_{y\to 0}2-y=2\]

como f no es continua , entonces no es diferenciable

Ni me fije eso...le crei que era continua jajaja. Igualmente lo de arriba sirve en el caso de que fuera continua y derivable, para probar que no es diferenciable. Grande Saga!!!

para mí la zarpó mucho. ¿vos aprobaste Trisky ?

para el 1ro escribí como 20 hojas y no me dio el tiempo para terminarlo. estoy sospechando que tenía montones de datos al pedo para marearnos que no hacían a la solución final.
tal vez Saga pueda resolverlo, a mí ya no me da la cabeza.

El 1 es muy Amed, re integrador!

En el 1 hay que ir de atras para adelante jejej, el punto que nos dan esta en coordeandas (x,y,v) =(1,2,v) para hallar cuanto vale v , reemplazamos los valores de x e y en las ecuaciones de las superficies que definen la recta tangente , de donde hechas las cuentas (x,y,v)=(1,2,1), como no conocemos la funcion f(x,y) el enunciado expresa explicitamente que su plano tangente es ortogonal a la recta dada como interseccion de esas superficies , osea quieren que usemos una aproximacion para f(x,y)

\[C=\left\{\begin{matrix}v+2=-x^2+y^2\\v=x^2 \end{matrix}\right.\]

para hallar el director de la recta tangente , defino

\[C=\left\{\begin{matrix}F(x,y,v)=x^2-y^2+v+2\\\\G(x,y,v)=-x^2+v \end{matrix}\right.\]

el producto vectorial sera

\[\nabla F(1,2,1)\times \nabla G(1,2,1)=(-4,-4,-8)=(1,1,2)\]

con algo de algebra , el plano pedido es \[x+y+2v-5=0\] despejando v

\[v=f(x,y)=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y\]

ahora hallamos z=f(u,v) con los valores de u y v reemplazando en la ecuacion implicita , a ojimetro sacamos que z=1 por ende (u,v,z)=(1,1,1) , defino

\[F(u,v,z)=4uv+z\ln z-4\]

haciendo el gradiente (se puede usar couchy-dini tambien, pero para mi es mas comodo de esta manera, ademas no me lo pide explicitamente , asi que esta a gusto de cada uno) y reemplazando las

coordenadas (u,v,z) queda

\[\nabla F(1,1,1)=(4,4,1)\]

con algo de algebra

\[4u+4v+z-9=0\] despejando z entonces

\[z=F(u,v)=9-4u-4v\]

¿para que todo esto? porque el enunciado nos pide \[h'(A,u)=0\] las funciones son diferenciables en el punto por ende puedo expresar la derivada direccional como

\[h'(A,u)=\nabla h(A) u\]

necesito las parciales de h, la cual esta definida por una composicion de las funciones

\[F(u,v)=9-4u-4v\quad g(x,y)=\left ( \sqrt{x}, \frac{5}{2}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y\right )\]

de forma matricial

\[\nabla h(1,2)=\nabla F(g(1,2))\cdot \nabla g(1,2)=\nabla F(1,1)\cdot \nabla g(1,2)\]

luego

\[\nabla h(1,2)=(-4\quad -4)\cdot\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2} &0 \\\\ -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}=(0,2)\]

el versor que nos piden tiene coordenadas

\[u=(a,b)\]

reemplazando

\[h'(A,u)=(0,2)(a,b)=0\]

por ser u versor se cumple \[a^2+b^2=1\]

queda definido el sistema

\[\\2b=0\\a^2+b^2=1\]

resolviendo, finalmente los versores pedidos son

\[u=\left (1,0)\]

\[u=\left ( -1,0 )\]

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Leatex, no sabia que estabas cursando AM2, y por lo menos yo no encontre datos demas en este ejercicio , eso si , revisen las cuentas

gracias por la aclaracion del 2, saga. Nunca se me hubiera ocurrido ir por ese camino, jaja. y en el límite hice algo que obviamente esta mal, jaja.[/offtopic]

(05-06-2014 20:29)LeaTex escribió:  para mí la zarpó mucho. ¿vos aprobaste Trisky ?

para el 1ro escribí como 20 hojas y no me dio el tiempo para terminarlo. estoy sospechando que tenía montones de datos al pedo para marearnos que no hacían a la solución final.
tal vez Saga pueda resolverlo, a mí ya no me da la cabeza.

no, no aprobé. en el 1 estuve cerca, me olvidé F'z en el denominador cuando haces la implicita, jaja.

Es profesor en la Uba, es denso explicando, pero toma varios recuperatorios, y no es dificil su forma de evaluar.
Responde consultas por mail hasta los Domingos!!