Hola, chicos/as, cómo podría demostrar que esta expresión es irracional?
\[ 3\sqrt{2}\]
Hago lo siguiente:
\[ 3\sqrt{2} = \frac{a}{b} \]
\[ 18 = \frac{a^{2}}{b^{2}} \]
\[ 18 b^{2} = a^{2}\]
Esto quiere decir que \[ 18 b^{2} \] es par. Por lo tanto "a" es par. Que podría escribirse como 2k. La ecuación me quedaría así...
\[ 18 b^{2} = 2k^{2}\]
Luego no sé cómo seguir la demostración...
Gracias!

Hola

(23-06-2020 13:14)cnlautaro escribió:  Hola, chicos/as, cómo podría demostrar que esta expresión es irracional?
\[ 3\sqrt{2}\]
Hago lo siguiente:
\[ 3\sqrt{2} = \frac{a}{b} \]
\[ 18 = \frac{a^{2}}{b^{2}} \]
\[ 18 b^{2} = a^{2}\tag*{(1)}\label{1}\]
Esto quiere decir que \[ 18 b^{2} \] es par. Por lo tanto "a" es par. Que podría escribirse como 2k. La ecuación me quedaría así...
\[ 18 b^{2} = 2k^{2}\]
Luego no sé cómo seguir la demostración...

Como \(a\) es par entonces \(a=2k\) para algún \(k\) entero. Luego \(a^2=(2k)^2=4k^2\). Si lo usamos en \(\ref{1}\) nos queda: \[18b^2=4k^2\implies9b^2=2k^2,\] o sea que \(9b^2\) es par. Ahora hay que demostrar que también \(b\) es par (esto es muy fácil mostrando que si \(b\) es impar luego \(9b^2\) es impar).

Finalmente, como \(a\) y \(b\) son números pares, va en contra de nuestra suposición de que \(a\) y \(b\) eran primos relativos (o sea \(a/b\) era irreducible). Como supusimos que era racional y llegamos a una contradicción, demostramos que \(3\sqrt{2}\) es irracional.

Saludos.

P.D. Cambié el asunto del mensaje por uno más descriptivo.

Gracias por la aclaración. Y por cambiar el asunto, es lo que quise poner en un principio pero no sé como escribir en Latex sin probocar saltos de líneas. Cómo hacés para agregar notaciones matemáticas en la misma línea?

(Ya lo pude resolver, muchas gracias de nuevo. No sé cómo borrar el mensaje)