Tengo una duda con este ejercicio:

Sea F: R4-R3 una aplicación lineal para la que F(e1)= (1;2;1) ; F(e2)= (0;1;0) ; F(e3)= (1;3;0) y F(e4)= (1;1;1)
Hallar una base para la imagen de la aplicacion.

Lo resuelve reduciendo la matriz transpuesta de la matriz transformacion:

1 2 1..................1 2 1
0 1 0..._______....0 1 0
1 3 0..................0 0 -1
1 1 1..................0 0 0

donde la base de la imagen es {(1;2;1);(0;1;0);(0;0;-1)}

Lo que quiero saber es por que lo resuelve con la matriz transpuesta de la matriz transformación.

Otra pregunta, ¿cómo hago a que cuando publico el tema me respete los espacios en blanco? verán que tuve que poner unos puntitos blancos jaja

Pasa que la TL esta en bases canonicas en el espacio de salida, entonces para hallar una base de la imagen, basta encontrar los vectores que sean li de ellos, ojo eso se puede hacer porque las bass de salida son las canonicas, es por eso que se determina una base escalonando la matriz asociada a la TL.

Respecto a tu pregunta bruno es el que te puede contestar

Mmm no me queda claro. Entiendo por que reduce la matriz transformación (si {e1;e2;...;3n} genera a V, entonces: F(e1);F(e2);...;F(en) generan a I(F), por lo que busca los vectores LI para que sean base) y que los vectores base de la imagen tienen que estar en R3, pero lo que no entiendo es por que lo hace con la traspuesta. ¿Si hubiera usado a original le daba los vectores base en R4? ¿Solo se puede hacer cuando se utiliza la base canónica? ¿Hay alguna propiedad o algo sobre esto?

los vectores que formen una base de la imagen son las columnas de la matriz li que podas encontrar, supongo que por eso utiliza la traspuesta , si observas bien, cuando traspones la matriz justamente lo que haces es encontrar los vectores li columna de dicha matriz, si no la traspones, solo te fijas que columnas son li.... lo entendes