Dada la expresion \[\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{25}=z\]

a) Exprese de que superficie se trata, realice una gráfica aproximada y muestre analíticamente que es doblemente reglada hallando las expresiones de las 2 familias de rectas que la recorren.
b) Halle las ecuaciones de las rectas contenidas en esta superficie que pasan por el punto P(8,5,3)


a)
\[\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{25}=z\]

\[(\frac{y}{4}+\frac{x}{5})(\frac{y}{4}-\frac{x}{5})=z\]

\[\left\{\begin{matrix}\frac{y}{4}+\frac{x}{5}=kz\\ \frac{y}{4}-\frac{x}{5}=\frac{1}{k}\end{matrix}\right.\] y \[\left\{\begin{matrix}\frac{y}{4}+\frac{x}{5}=k\\ \frac{y}{4}-\frac{x}{5}=\frac{z}{k}\end{matrix}\right.\]

A partir de acá no se como encarar el b), alguno tiene idea?

Up

no creo que te podamos colaborar en esto , no es un tema que se vea en frba , si me pasas que teoria tenes sobe, como se buscan las rectas que paseen por ese punto te puedo orientar

No tiene sentido la parte b) porque (8;5;3) no está en la superficie. Si lo cambiás por (5;8;3) sí tiene sentido.

Para resolverlo planteá que t*(a;b;c) + (5;8;3) esté en la superficie para todo t. Te queda un polinomio de grados dos en t que es igual a cero para todo t. La única forma de que pase eso es que el polinomio sea idénticamente nulo. Igualás a cero cada coeficiente y eso te da ecuaciones para a,b y c. Vas a encontrar varias veces la misma solución porque dos vectores paralelos definen la misma recta.

(15-02-2016 10:33)Pipicito escribió:  No tiene sentido la parte b) porque (8;5;3) no está en la superficie. Si lo cambiás por (5;8;3) sí tiene sentido.

Para resolverlo planteá que t*(a;b;c) + (5;8;3) esté en la superficie para todo t. Te queda un polinomio de grados dos en t que es igual a cero para todo t. La única forma de que pase eso es que el polinomio sea idénticamente nulo. Igualás a cero cada coeficiente y eso te da ecuaciones para a,b y c. Vas a encontrar varias veces la misma solución porque dos vectores paralelos definen la misma recta.

A qué polinomio te referís?

t*(a,b,c)+(5,8,3)= (x,y,z)
(at+5,bt+8,ct+3)=(x,y,z)

(15-02-2016 10:33)Pipicito escribió:  Para resolverlo planteá que t*(a;b;c) + (5;8;3) esté en la superficie para todo t.

(16-02-2016 14:46)Pipicito escribió:  

(15-02-2016 10:33)Pipicito escribió:  Para resolverlo planteá que t*(a;b;c) + (5;8;3) esté en la superficie para todo t.

Disculpa pero no entiendo como me decis que se resuelve :/

para que la recta este incluida en la superficie, al meter la ecuacion parametrica de la recta en la ecuacion de la superfcicie debe quedar 0=0, no?

pero al meter meter:

x=5+at
y=8+bt
z=3+ct

en la ecuacion de la superficie

\[\frac{(8+bt)^2}{16}-\frac{(5+at)^2}{25}=3+ct\]


no llego a nada, podes mostrarme como tendria que quedar la ecuacion? Porque no encuentro material sobre rectas de superficies regladas por ningun lado

Desarrollá los cuadrados del lado izquierdo y pasá todo para la izquierda. Expresá lo que te queda a la izquierda como un polinomio en t con coeficientes formados por números, a, b y c. Es un polinomio en t que vale cero para todo t. La única forma de que pase eso es que sea el polinomio idénticamente nulo. O sea que sabés que cada coeficiente del polinomio tiene que ser cero. Esas son las ecuaciones para a, b y c.

(20-02-2016 17:57)Pipicito escribió:  Desarrollá los cuadrados del lado izquierdo y pasá todo para la izquierda. Expresá lo que te queda a la izquierda como un polinomio en t con coeficientes formados por números, a, b y c. Es un polinomio en t que vale cero para todo t. La única forma de que pase eso es que sea el polinomio idénticamente nulo. O sea que sabés que cada coeficiente del polinomio tiene que ser cero. Esas son las ecuaciones para a, b y c.

Claro eso hice:



(Es -c, me confundi cuando escribi el latex)



Pero no llego a nada, solo que a=b=c=0 :/

Bueno, ya casi estás. Tenés mal las cuentas en el segundo paréntesis : el coeficiente de a es -10/25 y va un -c. Depués tenés que hacer bien los despejes. Una solución es poner a=b=c=0 pero eso no define un vector director para una recta. Esa solución te dice que t*(0;0;0) + (5;8;3) está en la superficie para todo t, lo cual es obvio porque (5;8;3) está en la superficie. Ayuda: la primera ecuación factorizala como una diferencia de cuadrados y separá en casos.

Si estoy desde el celular y por eso tiene un par de errores el latex, por eso paso a copiarlo directamente aca:
Haciendo eso llego a
b=4/5a
Y
b=-4/5a

(a,b)=(a,+ -(4/5)a)=a(1,+ - 4/5)

Y despejando c en la ecuacion 2 :

C = - (10/25) + - (4/5)

Quedando d1=(1,4/5,2/5) y d2(1,-4/5,-6/5)

Es correcto esto? No puese sacarse las ecuaciones de ka recta en el punto a partir de:

\[\left\{\begin{matrix}\frac{y}{4}+\frac{x}{5}=kz\\ \frac{y}{4}-\frac{x}{5}=\frac{1}{k}\end{matrix}\right.\] y \[\left\{\begin{matrix}\frac{y}{4}+\frac{x}{5}=k\\ \frac{y}{4}-\frac{x}{5}=\frac{z}{k}\end{matrix}\right.\]??