El ejercicio pide calcular los extremos relativos de: f(x,y)= 2xy-[(x²y)/2]-[(xy²)/2]

saque las derivadas parciales y las iguale a 0

Fx= 2y-xy-(y²/2)=0

Fy= 2x-(x²/2)-xy=0

Bueno el problema que tengo es que no puedo resolver el sistema de ecuaciones para poder despejar X e Y. Espero que alguien me pueda dar una mano.

Las parciales estan bien ... para sacarnos esa fraccion, hacemos las cuentas correspondientes, y tenemos un sistema equivalente de forma

\[\\-y^2-2xy+4y=0\quad (1)\\\\-x^2-2xy+4x=0\quad (2)\]

por igualacion

\[\\2xy=4y-y^2\\2xy=4x-x^2\]

\[4y-y^2=4x-x^2\]

completando cuadrados obtenes

\[(y-2)^2=(x-2)^2\to |y-2|=|x-2|\]

por propiedad de valor absoluto

\[y-2=x-2\quad \vee \quad y-2=2-x\]

de donde

\[y=x\quad \vee \quad y=4-x\]

ahora es solo un tema de reemplazos en (1) o (2) ... podes seguir ???

Muchas gracias saga!

tenes que obtener 8 puntos criticos en total .... cualquier duda ............

Saga hice este otro procedimiento decime si esta bien.

Fx=4y-2xy-y²=0 (1)
Fy=4x-2xy-x²=0 (2)

(1) - (2)

4y-4x-y²+x²=0
4(y-x)-(y-x)*(y+x)=0
(4-y-x)*(y-x)=0

y-x=0
y=x

4-y-x=0
y=4-x


Si y=x entonces remplazando en (2)

4x-2xx-x²=0
4x-2x²-x²=0
4x-3x²=0

resolviendo la cuadrática
x=0
x=4/3

P1(0,0)
p2(4/3,4/3)


Si Y=4-x remplazando en (2)

4x-x²-2x(4-x)=0
4x-x²-8x+2x²=0
x²-4x=0

x=4
x=0

P3(4,0)
p4(0,4)

Están bien los puntos críticos?