Hola a todos!
Soy nuevo en este foro y necesito algo de ayuda con los temas que mencioné en el título

1.Sea (Z, +) el grupo de los enteros con la suma usual. Defina la operación
binaria +' en G = Z × Z como (a, b)+' (c, d) = (a + c, b + d).

Sea f : (G,+')→ (Z, +) la función definida por f(x, y) = x - y.

Debo comprobar si el grupo (G,+') es isomorfimo, pero no sé como hacerlo...
Comprobé que era un homomorfismo de la siguiente forma:

f((a,b)+'(c,d))
f(a+c, b+d)
(a+c)-(b-d)
(a-b)+(c-d)
f(a,b)+f(c,d)

pero no sé como proceder con el isomorfismo, como compruebo que la función es inyectiva y sobre?
debo tomar la función f(x, y) = x - y. y comprobarlo matemáticamente??


2.Considere el subconjunto G = {[1], [3], [5], [9], [11], [13]} de Z14. Defina
la operación binaria en G como [a]*'[b] = [ab] donde ab es el producto usual en Z.

Cómo compruebo que (G,*') es un grupo?

Puedo comprobar que es asociativo tomando elementos del subconjunto, creo que la identidad es 1, pero no sé como hallar el inverso...


Y también debo hallar el subgrupo generado por [9]..
Que sería:
9^0=1
9^1=9
9^2=4
9^3=13

Es eso correcto??


Agradezco cualquier ayuda que me puedan brindar

Ejercicio 1

Es necesario que para tus consultas escribas el ENUNCIADO bien, no termino de entender que necesitas. Ademas se nota que no entendes por como lo escribís, transcribí tal cual el enunciado y dps aparte pone lo que vos hiciste o crees que se debe hacer.

Noto que hablas tanto de homomorfismo como del isomorfismo. No entiendo si queres saber si esos dos grupos son isomorfismos entre si o si la función f es un isomorfismo osea clasificar al homomorfismo

ejercicio 2
Lo mismo que lo anterior.

"Cómo compruebo que (G,*') es un grupo?"

Como es finito, podrias hacer la tabla y menos la propiedad asociativa... ahi sale todo. Sino podes probar con las definiciones de cerrado,asociatividad,conmutativada utilizando la operación. Cualquiera de las dos es valida.

"Puedo comprobar que es asociativo tomando elementos del subconjunto"

ovbio que si, es mas TENES QUE ¿Sino de donde los sacas? vos estas probando que ese subconjunto con esa operacion es un grupo.

" pero no sé como hallar el inverso"

Por las definiciones, antes del inverso tenes que sacar el neutro. Es practicamente lo mismo... Me parece que aca te esta faltando teorica, aca hay unos pdfs que lo explican perfectyo y utilizarias la operacion o la tabla para sacarlo.

Y también debo hallar el subgrupo generado por [9]..

esto esta mal, el subgrupo generado por [9] se obtiene de operar (((9*9)*9)*)9*... ¿entendes?

Perdón el desorden, aquí va más ordenado:

1.Sea (Z, +) el grupo de los enteros con la suma usual. Defina la operación
binaria +' en G = Z × Z como (a, b)+' (c, d) = (a + c, b + d).

A. Sea f : (G,+')→ (Z, +) la función definida por f(x, y) = x - y.
Demuestre que f es un homomorfismo.
¿Es f un isomorfismo?


Para comprobar que era un homomorfismo hice lo siguiente:
f((a,b)+'(c,d))
f(a+c, b+d)
(a+c)-(b-d)
(a-b)+(c-d)
f(a,b)+f(c,d)

Y ahora que ya tengo que f es un homomorfismo, no sé como proceder para demostrar que f es un isomorfismo..

Ahora si ! muy bien.

Te comento que la demostración esta perfecta. Yo nomas para que quede mas linda hubiera puesto que ibas a demostrar pero es una aditivo , esto esta perfecto.

En la teoria dice "si f es biyectiva -> f es isomorfismo" ¿Cuando una función es biyectiva? cuando es inyectiva y sobreyectiva .

Aca basicamente trabajas con la funcion, f(x, y) = x - y. Yo creo que podria ser conveniente ponerla de f(x, y) = x - y. a Y(x)=x

http://elcentro.uniandes.edu.co/cr/mate/...ode29.html ahi hay algunos ejemplos