Buenas, estoy haciendo un ejercicio y no me sale, si me ayudan les estaría eternamente agradecido

Hola

Es preferible que las imágenes que puedan ser copiadas a mano no sean subidas como archivos adjuntos sino que se tecleen explícitamente en el mensaje.

En cuanto al ejercicio:

El núcleo está formado por los vectores cuya imagen es cero. Dado que nos dan la matriz asociada \(M_{BB'}\) trabajaremos con coordenadas \((x,y,z)_B\) en la base \(B\) (respecto a la cual está dada la matriz).

Entonces un vector \((x,y,z)_B\) está en el núcleo si cumple \[M_{BB'} \begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}.\]

Operando obtenemos las ecuaciones \(y=0\) y \(z=0\). Es decir, concluimos que \[\ker\vec f=\{(x,y,z)_B\mid x,y,z\in \Bbb R^3,\,y=z=0\}=\{(x,0,0)_B\mid x\in \Bbb R\}=\langle(1,0,0)_B\rangle.\] Deducimos que una base del núcleo es \(\{(1,0,0)_B\}\). Dado que la base tiene un sólo vector la dimensión del núcleo es uno y por tanto geométricamente se puede interpretar como una recta.

En cuanto a la imagen, recordemos que de la definición tenemos \[\operatorname{im}\vec f=\{(x',y',z')\in\Bbb R^3\mid(x',y',z')=\vec f(x,y,z),(x,y,z)\in\Bbb R^3\}.\] Operando obtenemos el conjunto \(\{(y,z,0)_{B'}\mid y,z\in \Bbb R\}\) así que una una base de la imagen sería por ejemplo \(\{(1,0,0)_{B'},(0,1,0)_{B'}\}\). Dado que la base tiene dos vectores la dimensión de la imagen es dos y por tanto geométricamente se puede interpretar como un plano.

Saludos.

(21-12-2018 04:54)manoooooh escribió:  Hola

Es preferible que las imágenes que puedan ser copiadas a mano no sean subidas como archivos adjuntos sino que se tecleen explícitamente en el mensaje.

En cuanto al ejercicio:

El núcleo está formado por los vectores cuya imagen es cero. Dado que nos dan la matriz asociada \(M_{BB'}\) trabajaremos con coordenadas \((x,y,z)_B\) en la base \(B\) (respecto a la cual está dada la matriz).

Entonces un vector \((x,y,z)_B\) está en el núcleo si cumple \[M_{BB'} \begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}.\]

Operando obtenemos las ecuaciones \(y=0\) y \(z=0\). Es decir, concluimos que \[\ker\vec f=\{(x,y,z)_B\mid x,y,z\in \Bbb R^3,\,y=z=0\}=\{(x,0,0)_B\mid x\in \Bbb R\}=\langle(1,0,0)_B\rangle.\] Deducimos que una base del núcleo es \(\{(1,0,0)_B\}\). Dado que la base tiene un sólo vector la dimensión del núcleo es uno y por tanto geométricamente se puede interpretar como una recta.

En cuanto a la imagen, recordemos que de la definición tenemos \[\operatorname{im}\vec f=\{(x',y',z')\in\Bbb R^3\mid(x',y',z')=\vec f(x,y,z),(x,y,z)\in\Bbb R^3\}.\] Operando obtenemos el conjunto \(\{(y,z,0)_{B'}\mid y,z\in \Bbb R\}\) así que una una base de la imagen sería por ejemplo \(\{(1,0,0)_{B'},(0,1,0)_{B'}\}\). Dado que la base tiene dos vectores la dimensión de la imagen es dos y por tanto geométricamente se puede interpretar como un plano.

Saludos.

gracias! no sabía que se usaba un lenguaje para escribir (lo voy a tener en cuenta para la próxima. Igual ya rendí el parcial, y el ejercicio este (que era de un modelo) lo había hecho asi como vos, y estaba mal, había que expresar que f(v1)=0w1+0w2+0w3. y escribir que BaseNu(f)={v1}, y que la BaseIm(f)={V2;v3}

se aprecia gigantemente, de igual forma

Hola

(21-12-2018 19:08)Lichtgestalt escribió:  Igual ya rendí el parcial, y el ejercicio este (que era de un modelo) lo había hecho asi como vos, y estaba mal, había que expresar que f(v1)=0w1+0w2+0w3. y escribir que BaseNu(f)={v1}, y que la BaseIm(f)={V2;v3}

No entiendo por qué decís que está mal si solamente apliqué las definiciones de núcleo, imagen y base de una base genérica, tal como pide el enunciado. ¿Exactamente cómo lo planteaste?

De todas formas me cuesta entender lo que querés decir con eso. De entre las muchas maneras de proceder, la que intuyo que proponés es considerar que según los datos que nos dan (tomando como bases \(B=\{u_1,u_2,u_3\}\) y \(B'=\{w_1,w_2,w_3\}\)), \(\vec f(v_1)=0,\vec f(v_2)=w_1,\vec f(v_3)=w_2\) \[x=x_1v_1+x_1v_2+x_3v_3\in \ker\vec f \iff\vec f(x)=\vec0\iff\cdots\iff\ker\vec f=\{x_1v_1: x_1\in\Bbb R\}=\langle v_1\rangle.\]\[y\in\operatorname{im}\vec f\iff\exists x\in\Bbb R:x=x_1v_1+x_2v_2+x_3v_3:\vec f(x)=y\iff\cdots\iff\operatorname{im}\vec f=\{x_2w_1+x_2w_2: x_2,x_3\in\Bbb R\}=\langle w_1,w_2 \rangle.\] Es otra forma de resolverlo, pero no es la única.

Saludos.

Editado

(23-12-2018 20:32)manoooooh escribió:  Hola

(21-12-2018 19:08)Lichtgestalt escribió:  Igual ya rendí el parcial, y el ejercicio este (que era de un modelo) lo había hecho asi como vos, y estaba mal, había que expresar que f(v1)=0w1+0w2+0w3. y escribir que BaseNu(f)={v1}, y que la BaseIm(f)={V2;v3}

No entiendo por qué decís que está mal si solamente apliqué las definiciones de núcleo, imagen y base de una base genérica, tal como pide el enunciado. ¿Exactamente cómo lo planteaste?

De todas formas me cuesta entender lo que querés decir con eso. De entre las muchas maneras de prodecer, la que intuyo que proponés es considerar que según los datos que nos dan (tomando como bases \(B=\{u_1,u_2,u_3\}\) y \(B'=\{w_1,w_2,w_3\}\)), \(\vec f(v_1)=0,\vec f(v_2)=w_1,\vec f(v_3)=w_2\) \[x=x_1v_1+x_1v_2+x_3v_3\in \ker\vec f \iff\vec f(x)=\vec0\iff\cdots\iff\ker\vec f=\{x_1v_1: x_1\in\Bbb R\}=\langle v_1\rangle.\]\[y\in\operatorname{im}\vec f\iff\exists x\in\Bbb R:x=x_1v_1+x_2v_2+x_3v_3:\vec f(x)=y\iff\cdots\iff\operatorname{im}\vec f=\{x_2w_1+x_2w_2: x_2,x_3\in\Bbb R\}=\langle w_1,w_2 \rangle.\] Es otra forma de resolverlo, pero no es la única.

Saludos.

digo que estaba mal porque, cuando me lo corrigieron (y repito, lo había hecho tal cual lo hiciste vos, tengo foto si es que la requeris), la profesora lo puso como que estaba mal, ya que la forma correcta de resolverlo es la que usaste en el mensaje que estoy quoteando. saludos

Hola

(23-12-2018 20:59)Lichtgestalt escribió:  Digo que estaba mal porque, cuando me lo corrigieron (y repito, lo había hecho tal cual lo hiciste vos, tengo foto si es que la requeris), la profesora lo puso como que estaba mal, ya que la forma correcta de resolverlo es la que usaste en el mensaje que estoy quoteando.

Ya, pero sin ninguna explicación de por qué está mal no es motivo para considerarlo como tal. Si podés preguntarle te estaría agradecido.

Saludos.