Amigos a ver si me dan una mano con este! y me lo explican porq no caso mucho el tema clases...
1) en\[(Z_{36} \oplus ) \]

a) Indice \[< \left [ 12 \right ]> en Z_{36}\]

b) Dar las clases y grupos cocientes de la congruencia modulo H=\[< \left [ 3\right ]> \]

c) Dar los posibles ordenes de los subgrupos de \[< \left [ 12\right ]> \]\[\bigcap \]\[< \left [ 3\right ]> \]


desde ya muchas gracias si me lo pueden resolver!

Empecemos por ver que elementos tiene el conjunto.
El conjunto está formado por los enteros desde el 0 hasta el 35.
Entonces:
\[(Z_{36} \oplus )\] ={0,1,2,3,4,5,...,33,34,35}

a) <[12]> es el subgrupo de \[(Z_{36} \oplus )\] generado por 12.
Por lo tanto tendremos que operar 12 consigo mismo a ver que elementos genera.
<[12]>={12,24,0}
12 es obvio que va a estar por ser el elemento que utilazamos parar generar el subgrupo.
24 es el resultado de operar 12 consigomismo.
0 es el resultado de operar 12 con 24 (que nos daria 36 pero el grupo es \[(Z_{36} \oplus )\] , por lo tanto se le resta 36 y obtenemos 0).
El órden del subgrupo es la cantidad de elementos que lo componen, es decir que <[12]> tiene orden 3.
El índice de <[12]> en G es la cantidad de clases de equivalencia módulo <[12]>.
Se indica: 36/3=12.

b)Hacemos lo mismo con el subgrupo H:
H=<[3]>={3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,0}
Como el Grupo es Abeliano (basta con decir que todo grupo de aditivo que se encuentra en las clases de los enteros, es abeliano) entonces H*a=a*H.
Quiere decir que agarro cada elemento del conjunto, y lo opero con H.
Asi nos vamos a dar cuenta que de los 36 elementos del conjunto, solo obtendremos 3 subconjuntos distintos. Que a su vez no poseen ningun elemento en comun.
O sea, generamos una partición de \[(Z_{36} \oplus )\] .
Las clases son: {3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,0} , {1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34} y {2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35}
Y el conjunto/grupo cociente es:
[ G : <[3]> ]={ <[3]> ; <[3]>*1 ; <[3]>*2}= { {3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,0} ; {1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34} ; {2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35}}

c) Recordemos:
<[12]>={12,24,0}
<[3]>={3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,0}
Creo que el enunciado lo que pide es hallar la red ordenada por la interseccion de las Partes de (\[[< \left [ 12\right ]> ] [\bigcap ] [< \left [ 3\right ]> ] \] ),
que va a ser las Partes de (<[12]>)={\[\varnothing \] ;{12};{24};{0};{12;24};{12;0};{24;0};{0;12;24}}.
No voy a hacer el gráfico ya que es facil y yo tambien rindo mañana.



Espero que leas la respuesta antes de rendir, y que te sirva. Cualquier duda estoy aca.