Hola tengo un ejercicio de AM2 que me parece que esta mal resuelto, a ver si me pueden dar una mano es asi:

Calcular el área de la superficie de la ecuación \[z = 9-x^2 - y^2\] con \[0 \leq x \leq y \] y \[z \geq 8\]

La profe lo resolvio así:

\[F(x,y,z) = z - 9 + x^2 + y^2 = 0\]

\[F'x = 2x \] \[F'y = 2y\] \[F'z = 1\]

\[\frac{||\bigtriangledown F ||}{F'z} =\frac{\sqrt{ 4x^2 + 4y^2 + 1^2}}{1}\]

\[z \geq 8\]

\[9 - x^2 - y^2 \geq 8\]

\[1 \geq x^2 + y^2 \]

El área queda un sector circular de radio 1, que va desde \[\frac{\pi}{4}\] a \[\frac{\pi}{2}\] osea un 1/8 de una circunferencia

Lo pasa a coordenadas cilindricas:

\[\int_{\pi/4}^{\pi/2} d\varphi \] \[\int_{0}^{1} \rho \sqrt{(4\rho^2 +1)} d\rho \]

Resolviendo las dos integrales queda: \[\frac{1}{4}\pi\] \[\frac{17}{20}\] = \[\frac{17}{80}\pi\]

No deberia quedar \[\frac{1}{8}\pi\] si lo que se esta calculando es la octava parte del área de una circunferencia?

No se como lo resolvio, hasta definir la integral llego a lo mismo, de ahi en mas no se que metodo de integracion uso para resolver la integral , pero segun god wolfram

resultado

(11-12-2015 01:45)Saga escribió:  No se como lo resolvio, hasta definir la integral llego a lo mismo, de ahi en mas no se que metodo de integracion uso para resolver la integral , pero segun god wolfram

resultado

Sep a mi me da lo mismo resolviendolo a mano con método de sustitución y con geogebra, a lo que voy es que el resultado no deberia ser 1/8\[\pi\] ya que lo que se esta calculando es 1/8 de una circunferencia

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(11-12-2015 02:55)Kaiko escribió:  

(11-12-2015 01:45)Saga escribió:  No se como lo resolvio, hasta definir la integral llego a lo mismo, de ahi en mas no se que metodo de integracion uso para resolver la integral , pero segun god wolfram

resultado

Sep a mi me da lo mismo resolviendolo a mano con método de sustitución y con geogebra, a lo que voy es que el resultado no deberia ser 1/8\[\pi\]? ya que lo que se esta calculando es 1/8 de una circunferencia

(11-12-2015 02:55)Kaiko escribió:  a lo que voy es que el resultado no deberia ser 1/8\[\pi\] ya que lo que se esta calculando es 1/8 de una circunferencia

nop , entiendo que queres aplicar directamente la formula de un octavo de circunferencia \[\frac{\pi}{8} R^2\] estaria correcto si el integrando fuese constante , pero en el ejercicio no lo es de hecho varia segun ro

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(10-12-2015 20:53)Kaiko escribió:  Hola tengo un ejercicio de AM2 que me parece que esta mal resuelto, a ver si me pueden dar una mano es asi:

Calcular el área de la superficie de la ecuación \[z = 9-x^2 - y^2\] con \[0 \leq x \leq y \] y \[z \geq 8\]

La profe lo resolvio así:

\[F(x,y,z) = z - 9 + x^2 + y^2 = 0\]

\[F'x = 2x \] \[F'y = 2y\] \[F'z = 1\]

\[\frac{||\bigtriangledown F ||}{F'z} =\frac{\sqrt{ 4x^2 + 4y^2 + 1^2}}{1}\]

\[z \geq 8\]

\[9 - x^2 - y^2 \geq 8\]

\[1 \geq x^2 + y^2 \]

El área queda un sector circular de radio 1, que va desde \[\frac{\pi}{4}\] a \[\frac{\pi}{2}\] osea un 1/8 de una circunferencia

Lo pasa a coordenadas cilindricas:

\[\int_{\pi/4}^{\pi/2} d\varphi \] \[\int_{0}^{1} \rho \sqrt{(4\rho^2 +1)} d\rho \]

Resolviendo las dos integrales queda: \[\frac{1}{4}\pi\] \[\frac{17}{20}\] = \[\frac{17}{80}\pi\]

No deberia quedar \[\frac{1}{8}\pi\] si lo que se esta calculando es la octava parte del área de una circunferencia?

No, no te debería dar \[\frac{1}{8}\pi \] ya que vos no estás calculando el área del tramo de circunferencia en sí. Si estuvieses calculando el área del tramo de circunferencia, la ecuación debería quedarte solo \[\int_{\tfrac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi \int_{0}^{1}\rho d\rho \] . Pero lo que sucede es que vos estás calculando un ÁREA en el espacio, que ocurre tener una proyección en el plano xy igual al tramo de circunferencia que dijiste. Pero como solo su PROYECCIÓN tiene esa área, qué pasa con todos los otros puntos originales distribuidos en el espacio que tenías antes de proyectar? Se traducen en una magnitud, que es lo que está escrito en la integral, adherido a la integral del área de la circunferencia que te dije recién: \[\int_{\tfrac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi \int_{0}^{1}\rho \sqrt{(4\rho^2 +1)} d\rho \] . Entonces la parte de \[\sqrt{4\rho ^{2}+1} \] es la magnitud que representa a todos los puntos en el espacio perdidos cuando proyectaste el área. Así que está bien que te de un número distinto de \[\frac{\pi }{8}\] .

Espero que esto te haya ayudado ^^