Hola, no me sale este ejercicio, ¿Alguien podría ayudarme?

[-1;2]→R / f(x)=|x-x³| hallar crecimiento, decrecimiento, extremos relativos y extremos absolutos. Justificar.

Gracias,
Saludos-

Siempre para hacer estos ejercicios, te conviene graficar la funcion como para que entiendas un toque mas como viene la mano.

1- Abri el modulo.
2- Grafica la funcion (tan simple como armarse una tabla de x e y; y darle algunos valores)
3- Ahi ya vas a tener un parametro de cuales van a ser los maximos, intervalos de decrecimiento,etc.
4- Luego pasa a las formalidades. Derivada primera, derivada segunda, etc para hacer el estudio de funcion.

Espero maso menos, haberte orientado.

Nota: Si dije alguna fruta, corrijanme, ya que curse analisis hace 7 años. Pero creo que esta bastante acertado lo que te dije.

Un abrazo.

Claro, abrí el modulo, derivé y grafiqué la función y la verdad me quedo una cosa media chota y no supe como interpretarlo.

Fijate en el archivo adjunto que te subo aca, a ver si se te facilita el tema.

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va el archivo

Duda...graficaste la funcion original o la derivada? Por que veo que la func que graficaste tiene dos raices y es una cúbica...

Si mis calculos no están mal...las raices son, 1; -1 y 0.

Grafique la funcion original mami.

Lamento interrumpir tanto amor, pero chacal, la funcion no puede tomar valores negativos... no pide el valor absoluto ?

Edito y pongo lo que dice wolfram

http://www.wolframalpha.com/input/?i=abs+%28+x+-+x^3%29

(03-06-2011 17:05)Ricki escribió:  Lamento interrumpir tanto amor, pero chacal, la funcion no puede tomar valores negativos... no pide el valor absoluto ?

Re que me parece que tenes razon che!

pero ahi esta la duda, no me acuerdo bien el tema del modulo. yo lo abri y lo grafique.

Pero puede que tengas razon... va no, puede no, tenes razon de hecho me parece.

Che RE, a las partes negativas dalas vuelta!

A ver,primero tenes que abrir la función.


\[f(x) = \]
\[ x-x^3 \vspace{20 mm} x<0 x^3-x \vspace{20 mm} x>0\]

Eso se abre asi,porque el valor de la funcion te tiene que dar siempre positivo (y la unica diferencia que hay si conmutas la resta es el signo y -1*(saraza - otrasaraza) te da otrasaraza -saraza.

Despues derivas cada termino y te queda ASA:

\[f'(x) = \]
\[ 1- 3(x^2) \vspace{20 mm} x<0 3(x^2) - 1 \vspace{20 mm} x>0\]

La funcion crece para los terminos en los cuales su derivada primera es positiva y decrece cuando esta es negativa.
Para \[0<= x < sqrt(1/3)\] da menor que cero.
Para \[x>sqrt(1/3)\] te da menor que cero.
Y si tenes \[-sqrt(1/3)<x<0 \] ahi te fijas que para todo valor de x comprendido en ese intervalo,la cuenta te da positiva.
Y finalmente cuando \[x<-sqrt(1/3)\] te da negativo.


Ahora lo que haces es fijarte en los intervalos donde te dio positivo y esos son los intervalos de crecimiento. Y en los que te dio negativa la derivada primera son los intervalos de decrecimiento.
Es decir:

Cercimiento: \[-sqrt(1/3)<x<0 \] (union) \[-sqrt(1/3)<x<0 \]
Decrecimiento: \[0<= x < sqrt(1/3)\] (union) \[x>sqrt(1/3)\]

Despues maximos y minimos (extremos)....para eso fijate en que valores hacen cero la derivada primera.

Como ves uno de esos valores es cero (es facil verlo).

Ahora,agarras los terminos de la derivada y los igualas a cero:


\[f'(x) = \]
\[ 1- 3(x^2) =0 3(x^2) - 1=0\]

entonces tenes 1=3(x^2) (te queda lo mismo para ambos terminos).

Entonces despejando te queda que (1/3)=(x^2) y \[x=sqrt(1/3)\]
(acordate de que la raiz puede ser positiva o negativa,por lo tanto tenes dos soluciones que son
\[A=+sqrt(1/3)\] y \[ B=-sqrt(1/3)\].

Entonces te fijas en la derivada segunda.

\[f''(x) = \]
\[ - 6x x<0 6x x>0\]

Evaluas los puntos en la derivada segunda

al evaluar A lo encajas en el segundo termino porque es mayor que cero entonces te queda
6*(sqrt(1/3)).No voy a hacer la cuenta porque lo que importa es que te da mayor que cero,entonces ese punto es un minimo relativo.

Con B pasa lo mismo,menor que cero y lo evaluas en el primer termino y te queda -6*(-sqrt(1/3))
y por regla de los signos te queda 6*(sqrt(1/3)) porque los - se cancelan.Por lo tanto al ser mayor que cero es un MINIMO relativo.

Con cero pasa lo mismo,pero te dan cero en ambos (ahi no me acuerdo si eso se consideraba un extremo o no,en este caso si, basta fijarse la grafica de la funcion).

Asi que tus puntos son:

\[A=+sqrt(1/3)\]
\[ B=-sqrt(1/3)\]
\[C=0\]

Bueno,espero que eso haya ayudado.Si hay algun error,cualquier correccion es bienvenida.

Siempre que te dan una función definida como la de este ejercicio, osea,
\[ [-1,2] \to \R \]
hay que acordarse de acotar los resultados para que estén expresados dentro del intervalo \[ [-1,2]\], no?

SI,me olvide de eso (ni lo vi).Hice el caso mas general.De todas formas la diferencia es infima,los puntos solucion estan todos dentro de ese intervalo.
Y a los intervalos de continuidad hay que acotarlos para que sean mayores que menos uno y menores que dos.
De todas formas eso no varia la respuesta.

Saludos!.

PD:Fe de erratas,en los intervalos de crecimiento meti un - en donde no debia,tienen que quedar asi:

Cercimiento: \[-sqrt(1/3)<x<0 \] (union) \[sqrt(1/3)<x<0 \]

Hola,me parece que falto algo , si esta mal porfa avisen, ultimamente se me cruzan los cables a veces

\[f(x)=|x-x^3|\]

las raices son \[(0,\pm{1})\] que pertenecen al dominio de la misma, se tienen que considerar para la resolución del ejercicio, se sabe que la función es continua en todo su dominio por es una composición de funciones continuas \[f\in{C^0}\] abriendo el módulo de manera habitual y derivando, considerando las condiciones de módulo y el conjunto sobre el cual esta definida la función

\[f'(x)=\begin{Bmatrix} 3x^2-1 & \mbox{ si }& x\in{(-1,0)} \\ ? & \mbox{si}& x=0 \\1-3x^2 & \mbox{si}& x\in{(0,1)\cup{(1,2)}}\end{matrix} \]

para determinar ? equivalente a evaluar que pasa \[x=0\], se puede ver que la función no es derivable, eso lo pueden verificar usando la definición

Luego de hacer las cuentas que ya hizo rulo

\[x\in{[-1,0]}\] presenta un máximo absoluto en

\[\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}},f\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\right)\]

procedimiento análogo para cuando \[x\in{[0,1]}\], acá f alcanza un máximo relativo en

\[\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},f\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\right)\]

es relativo porque el intervalo a evaluar es \[[0,2]\] cuando \[x\in{[1,2]}\] aplicamos el Teorema de Weierstrass

de donde f alcanza un maximo absoluto en \[(2,f(2))\]

saludos

PD:Ahh me olvidaba , rulo ¿cómo obtenes que C=0 es un punto crítico??

¡Muchas gracias por ayudarme con el ejercicio!

Me lo tomaron en un parcial y me parece que le mande fruta a dos manos, pero no podia quedarme con la duda.

¿Es difícil o yo soy media goma?

¡Muchas gracias!