Estimados, estoy volviendo a cursar materias despues de algun tiempo, en estos momentos estoy con AM II y un tanto oxidado por lo que agradezco a quien pueda darme una mano con el ejercicio 11 del TP 1 de la guia de AM II 2016.

El ejercicio dice asi, de forma resumida:

Hallar la familia de curvas tal que su recta normal en cada punto sea tangente a la parabola que pasa por dicho punto. Hallar la curva que pasa por (0,1).
Ecuacion de la parabola: \[y=kx^{2}\]

Les paso a mostrar lo que hice y hasta donde llegue a ver en que le pifie o que cosa encare mal:

Primero derivo la ecuacion de la parabola:
\[y=kx^{2}\]
\[y'=2kx\]

Despejo k, entonces me queda:
\[y/x^{2}=k\]

Con eso armo la ecuacion diferencial:
\[y'=(2y)/x\]

La normal es la derivada pero invertida:

\[-\frac{1}{y'}=-\frac{x}{2y}\]

Con esto ultimo planteo que la recta normal que me va a permitir llegar a mi curva seria de la siguiente manera:

\[(y-_{Y0})=-\frac{1}{y'}(x-_{X0})\]

Tomando que el punto es (0,1) y que -1/y' es lo que calcule antes:

\[(y-1)=-\frac{x}{2y}x\]

Juntando las x y pasando 2y para el otro lado llego a esto:

\[2y^{2}-2y=-x^{2}\]

Acomodando un poco para parecerme al resultado de la guia llego a esto:

\[x^{2}+2y^{2}=2y\]

Y aca es donde me estoy rompiendo la cabeza porque no logro ver que esta mal.

En la guia el resultado es: \[x^{2}+2y^{2}=2\]

Si alguien lo hizo y ve que esta mal le agradezco la mano.

Saludos
Flavio

yo lo veo bien, posiblemente sea un error de la guia

Yo use el tema de las familias ortogonales osea invierto y'= -x/2y luego la integro
me da y^2=(-x^2)/2 + C
con el punto lo usas para sacar solucion particular y me dio igual al de la guia

(29-03-2016 02:58)Saga escribió:  yo lo veo bien, posiblemente sea un error de la guia

Si Saga lo ve bien, creo que cerramos el topic, no? Jaja, genio!

Esto lo tenés que resolver con el tema de ecuaciones diferenciales, no con rectas normales/tangentes de AM I, creo que el procedimiento seria asi:

\[y=kx^2\] (1)

Primero derivás:

\[y'=2 k x\] (2)

Como te sigue quedando la constante, despejás k de (1) y lo metés en (2)

quedando:

\[y'= 2\frac{y}{x}\]

Como y' es la pendiente de la recta tangente, como tiene que ser ortogonal: (Y' sería la pendiente de la recta tg de la funcion ortogonal)

\[Y'= -\frac{x}{2y}\]

Ahora hay que integrar:

\[\frac{dy}{dx}=\frac{-x}{2y}\]

\[\int 2y*dy=\int -x*dx\]

Quedando:

\[2y^2+x^2=k\] (3) Que sería la solucion general

Como te dice que pasa por el punto (0,1), x=0 e y(x)=1

Reemplazas en (3) y despejás el valor de k:

\[2*1^2+0^2=k\]

\[2=k\]

Metes ese valor de k en (3) y queda la Solucion Particular:

\[2y^2+x^2=2\]

Muchisimas gracias a todos, ahi con la respuesta de diakon me quedo mas que claro y pude ver donde estaba mi error.

A seguir con la practica