hola chicos alguno me puede dar una mano con este ejercicio?


"Se sabe que una transformacion lineal t:r3->r3 tiene el autovalor λ=3 con multiplicidad geometrica 1 y el autovalor λ2=5 con multiplicidad geometrica 2. Justifique la existencia de la base de autovectores e indique cual puede ser una matriz asociada a la transformacion, referida a dicha base."

La multiplicidad geométrica de un autovalor \[\lambda\] es la dimensión del autoespacio \[E_\lambda\] asociado al autovalor. La multiplicidad algebraica es la multiplicidad de \[\lambda\] como raíz del polinomio característico.

Tenés \[E_{\lambda_1}\] de dimensión 1 y \[E_{\lambda_2}\] de dimensión 2 por el enunciado. Ponele que considerás bases \[\mathcal{B}_1 = \{v_1\}\] de \[E_{\lambda_1}\] y \[\mathcal{B}_2 = \{v_2, v_3\}\] de \[E_{\lambda_2}\]. Si podés probar que \[E_{\lambda_1}\] y \[E_{\lambda_2}\] están en suma directa, entonces \[E_{\lambda_1} \bigoplus E_{\lambda_2}\] tiene dimensión 3 y por lo tanto \[E_{\lambda_1} \bigoplus E_{\lambda_2} = \mathbb{R}^3\] y \[\mathcal{B}_1 \sqcup \mathcal{B}_2 = \{ v_1, v_2, v_3\}\] es base de \[\mathbb{R}^3\].

Para ver que \[E_{\lambda_1}\] y \[E_{\lambda_2}\] están en suma directa hay que ver que \[E_{\lambda_1} \cap E_{\lambda_2} = \{ 0 \}\]. Si \[v \in E_{\lambda_1} \cap E_{\lambda_2}\] entonces \[\lambda_1 v = Av = \lambda_2 v\] y de acá sale \[(\lambda_1 - \lambda_2) v = 0\]. Como \[\lambda_1 \neq \lambda_2\], resulta \[v=0\].

Listo, \[\mathcal{B}_1 \sqcup \mathcal{B}_2\] es una base de autovectores.

PD: que alguien arregle la relación Latex-resto del texto porque queda horrible cuando se usan subíndices o matrices o cosas así

Gracias Pipicito!!!

Y como se cual es la matriz A que me piden a partir de saber que es una base de autovectores, si no me dan los autovectores ni la transformacion?

Pensalo usando que los \[v_i\] son autovectores.

Hola con un compañero lo tratamos de resolver y lo hicimos asi, nose si a esto re referias Pipicito

El enunciado dice que λ=3 con multiplicidad geometrica 1 y el autovalor λ2=5 con multiplicidad geometrica 2, es decir λ2 se repite 2 veces.

Como me pide una matriz cualquiera asociada a una transformacion planteamos:
a-λ 0 0
0 b-λ 0
0 0 c-λ <- La matriz asociada a la transformacion

Hicimos el determinante |A- λi| =0

(a-λ)*(b-λ)*(c-λ)=0 , pero como λ2 tiene multiplicidad geometrica 2, b=c
(a-λ)*(b-λ)^2
Como λ1=3 -> a=3; λ2=5 -> b=c=5

La matriz asociada en la base canonica sera

3 0 0
0 5 0
0 0 5 T(x,y,z)=(3x,5y,5z)

Hicimos (A-λ)(x)=0
Y llegamos a los autovectores (1,0,0)(0,1,1)(0,1,-1) Como son LI y son 3 forman una base de r3

T(1,0,0)=(3,0,0)
(3,0,0)=a(1,0,0)+b(0,1,1)+c(0,1,-1)
V1=(3,0,0)
T(0,1,1)=(0,5,5)
(0,5,5)=a(1,0,0)+b(0,1,1)+c(0,1,-1)
V2=(0,5,0)
T(0,1,-1)=(0,5,-5)
(0,5,-5)=a(1,0,0)+b(0,1,1)+c(0,1,-1)
V3=(0,0,5)

Y la matriz queda
3 0 0
0 5 0
0 0 5

Nos quedo igual que la inicial, quiere decir que la inicial ya estaba en base de autovectores, cierto?
esta bien este planteo??

Hola tengo un ejercicio muy similar:

"Se sabe que una transformacion lineal T:R4->r4 tiene autovalores λ1=4, λ2=7 λ3=-3
El espacio caracteristico asociado a λ1 es de dimension 2, mientras que lso asociados a λ2 y λ3 son de dimension 1.
Justifique la existencia de la base de autovectores e indique cual puede ser una matriz asociada a la transformacion, referida a dicha base."

No entiendo bien la diferencia entre los 3 conceptos (Multiplicidad algebraica, geometrica y dimension)

Lo que tengo entendido es que la multiplicidad algebraica es el grado que tiene el polinomio, por ejemplo en el ejercicio anterior (a-λ)*(b-λ)^2, el segundo tiene multiplicidad algebraica igual a 2 porque está repetido.

Y la definicion de multiplicidad geometrica es la cantidad de vectores linealmente independientes asociado a un autovalor, y esto sería igual a la dimension, pero no entiendo bien que me quiere decir esto, osea no entiendo cual sería la diferencia entre uno y otro. (Entre multiplicidad algebraica y geometrica)


Bueno el ejercicio este se plantea de la misma manera que el anterior supongo

Quedando una matriz diagonal con los autovectores en la diagonal principal, que

4 0 0 0
0 4 0 0
0 0 7 0
0 0 0 -3 <-- Que sería D, en base de autovectores

A partir de esta matriz no tengo forma de encontrar la asociada respecto a la base canonica, no?