Si alguno me puede dar una mano con estos ejercicios se lo agradeceria.





Analizar el valor de verdad de las siguientes igualdades:

a) \[\bar{4}(5)\cap \bar{2}(5)=\varnothing\]


b)\[\bar{1}(3)\cap\bar{1} (6)=\bar{1}(6)\]


c) Sea el numero natural x= \[20031_{4}\]. Hallar a \[\varepsilon\] N tal que \[\chi \; \varepsilon \: \bar{a}(5)\]


d)Dos profesores de Educacion Fisica decidieron abrir una escuela de futbol. Para publicitarla imprimieron 5000 volantes que aun no se terminaron de repartir. De estos quedan menos de la mitad y mas de 1500 Los folletos que aun quedan por repartirse pueden distribuirse en grupos de 30, 35 y 40 sin que sobre ninguno. ¿Cual es el numero de volantes que quedan por repartir?

e)Probar que \[V a,b \, \varepsilon \, Z :(a,b)=1\, \rightarrow (a^{n}b^{n})=1\]

Cuando puse V a,b , el V = para todo , no encontre el simbolo de para todo en latex

uyy en discreta estoy medio oxidado pero te doy una mano con los ultimos

igual capaz hice cualquier cosa pero capaz te ayuda.

para el (d) la respuesta me dio : 1680

como la deduje??
en realida la hice media "a mano" osea no se bien si tenes que usar algun teorema de discreta, pero fijate lo que hice:

Te piden encontrar un numero que está entre 1500 y 2500. osea

\[1500 > x > 2500\]

y ademas te dicen que este numero es divisible por 30, por 40 y por 35.
lo primero que se me ocurre es lo sigueinte. Si x es divisible por 30, 40, 35 entonces de seguro, este numero x debe ser Multiplo del mcm entre 30,40,35.
osea:
\[x = K \cdot mcm(30,35,40)\]

ahora buscamos el mcm que es 840
entonces
\[x = K \cdot 840\]
¡pero hay infinitos numeros que son multiplos de 840! claro pero ahi es donde entra nuestra condicion inicial:
\[1500 > x > 2500\]
tengo que encontrar un K de modo tal que mi numero X no se salga de ese rango
justamente ese k es
\[K = 2 => X = 2 \cdot 840 = 1680\]
1680 es el UNICO numero que es divisible por 30,35,40 y que está entre 1500 y 2500

e)Bueno aca si hace falta un poco de teoria pero lo voy a resolver un poco a loo rustico, pero seguro te salta la ficha de como armarlo prolijo.

si entendi bien, te piden que DEMUESTRES que la sigueinte proposicion es Verdadera sin importar quienes sean los numeros a y b.

\[\forall a, b \varepsilon Z : mcd(a,b) = 1 => mcd(a^n,b^n) = 1\]

bueno, yo empezaria asi:
\[a = a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot ... \cdot a_k\]
\[b = b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 \cdot ... \cdot b_m\]

siendo \[a_i , b_j\] numeros primos,
osea, el numero a se puede descomponer en un producto de sus factores primos.
lo mismo con b.
Por HIPOTESIS mcd(a,b) = 1 ¿esto que quiere decir??? que a y b NO tienen divisores en comun.
Entonces podemos afirmar que
\[a_i \neq b_j \forall i,j : 1..k 1..m\]
osea, que los factores primos de a son todos distintos de los de b.

bien ahora:
\[a^n = (a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot ... \cdot a_k)^n\]
\[b^n = (b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 \cdot ... \cdot b_m)^n\]

\[a^n = (a_1^n \cdot a_2^n \cdot a_3^n \cdot ... \cdot a_k^n)\]
\[b^n = (b_1^n \cdot b_2^n \cdot b_3^n \cdot ... \cdot b_m^n)\]

de aca se observa que los numeros (a^n) y (b^n) tampoco tienen factores en comun, dado que al elevar a la n estoy multiplacando por los mismos factores de antes y esto no hace que ahora SI tengan factores comunes.
como a^n y b^n NO TIENEN factores en comun, no es posible encontrar algun numero que divida a los dos, salvo el 1.
por lo tanto \[mcd(a^n , b^n) = 1\]

osea, es medio feo hacerlo asi, pero la idea está. hay que ver que se hacia bien en discreta. pero por ahi va la cosa.
saludos!