(03-08-2010 16:49)hernan888 escribió: Un dia le pregunte a mi profe de am2 que eran realmente los dt, dx, dy, dz, dO, ds, etc etc etc y me empezo a explicar(muy horriblemente) que tiene que ver con como escribian las diferenciales en los tiempos de newton y demas.
Lo que yo entendia es que representan lo que vos estas diferenciando o haciendo variar infinitesimalmente.
Aunque no tiene nada que ver con la pregunta de gonzalito (una cuestión de nomenclatura digamos) confieso que yo también pasé algún tiempo cavilando sobre el concepto de diferencial cuando cursé AM I y II, y cada tanto vuelvo a recordármelo para no perder la esencia detrás de la idea, que se termina voviendo ambigua cuando se cursan materias tipo Física I o II. El tema está en separar el concepto abstracto que tiene una raíz algebraica (la que a los ponchazos uno aprende en Análisis aplicando la definición de límite) y los modelos físicos que hacen uso del objeto matemático para explicar fenómenos concretos.
Una aplicación, mapa, transformación, campo o función (todas variantes de nomenclatura sobre el mismo tipo particular de relación que verifica los axiomas de existencia y unicidad) vincula elementos pertenecientes a dos conjuntos, de manera que al tomar
un elemento distinto del conjunto de llegada (codominio) dentro del subconjunto de elementos que constituyen la imágen (rango), le corresponderá a su vez en el conjunto de salida (dominio)
un elemento distinto. El proceso de "tomar un elemento distinto" y "compararlo" con el original (mediante la operación de la diferencia, restándolos; ya sean escalares, vectores, etc) conduce a la noción de
incremento o variación de un
elemento genérico (que como puede tomar valores múltiples según cuál de ellos "tomemos", lo denominamos
variable). Así, evaluando valores distintos de las variables vinculadas por la función y restándolos, se obtienen los incrementos de las mismas (que se designan con una letra delta mayúscula). Ahora bien, si uno quisiese extraer información sobre la función concretamente -sean cuales sean los conjuntos dominio y codominio- uno intuitivamente intentaría establecer una identidad sencilla entre los incrementos de ambas variables (o más de dos, desde luego) de manera que sea posible
pasar de la
función aplicada sobre los elementos en sí a
una función aplicada sobre los incrementos. Resulta ser que para un determinado tipo de funciones (que casualmente modelan la gran mayoría de los fenómenos naturales) que denominamos
diferenciables, el nexo buscado resulta ser el siguente: el incremento de la/s variable/s dependiente/s es igual a dos términos, siendo el primero el límite del cociente escalar entre los incrementos de las variables dependiente/s e independiente/s (la
derivada, el
gradiente, etc) multiplicado por el incremento de la/s variable/s independiente/s, y el segundo término constituye una variable adicional o
error que es función del incremento de la/s variable/s independiente/s pero no linealmente (
no es una constante multiplicada por el incremento). En otras palabras, en el miembro izquierdo se tiene el incremento (delta mayúscula) del elemento genérico de llegada, y en el miembro derecho se tiene un término que es un producto entre el incremento del elemento genérico de salida y un factor que es independiente de dicho incremento (la "derivada" en sentido amplio) sumado a otro término que sí depende del incremento:
\[\Delta{y}=y^{\prime}\Delta{x}+ \epsilon(\Delta{x})\]
Siendo épsilon la variable
de error.
En esta última identidad, el primer elemento es justamente
el diferencial de la variable de llegada, de modo que puede expresarse de manera condensada:
\[\Delta{y}=dy+ \epsilon{}\]
Conclusión: en funciones o campos diferenciables, el incremento en la función se puede
descomponer en dos sumandos: una
parte principal de carácter lineal que es el diferencial de la función, y una
parte secundaria de carácter no lineal que es el error o desviación del comportamiento lineal que describe. O sea que el diferencial no es una "variación infinitesimal", sino que es parte de la función para cualquier magnitud de variación, sea pequeña o grande. La alusión a los infinitésimos se debe a que, justamente, al tomar el límite del incremento en la/s variable/s independiente/s tendiendo a cero, el segundo término (no lineal) de error tiende a cero mucho más rápidamente que el primero (lineal), con lo cual al aplicar el operador límite a ambos miembros de la ecuación precedente se verifica que:
\[\displaystyle\lim_{\Delta{x} \to{0}}\Delta{y}=\displaystyle\lim_{\Delta{x} \to{0}}(dy+ \epsilon{})\]
\[\displaystyle\lim_{\Delta{x} \to{0}}\Delta{y}=\displaystyle\lim_{\Delta{x} \to{0}}dy+ \displaystyle\lim_{\Delta{x} \to{0}}\epsilon{}\]
\[\displaystyle\lim_{\Delta{x} \to{0}}\Delta{y}=dy\]
Esto último es fácil de probar:
\[\displaystyle\lim_{\Delta{x} \to{0}}\;\frac{\Delta{y}}{dy}=\displaystyle\lim_{\Delta{x} \to{0}}\;\frac{\Delta{y}}{y^{\prime}\Delta{x}}=\displaystyle\lim_{\Delta{x} \to{0}}\;\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}\cdot{}\frac{1}{y^{\prime}}=\frac{y^{\prime}}{y^{\prime}}=1\;\Longrightarrow{\displaystyle\lim_{\Delta{x} \to{0}}\;\Delta{y}=dy}\]
[Para aplicaciones no diferenciables no se verifica esta identidad, y por lo tanto su tratamiento analítico es mucho más pobre (se puede extraer mucho menos información del comportamiento de la función, que en general es más sencilla)]
Corolario: un diferencial no es un infinitésimo, sino que es un "componente" de la variación de una función. El proceso por el cual se obtiene la igualdad entre el incremento y el diferencial (el operador límite) lo vincula con la noción de infinitésimo, pero no es la esencia del concepto (ni la definición). En física esta distinción sutil se pierde, porque naturalmente en física las cosas se definen tratando de recurrir a la mínima abstracción posible en pos de facilitar la formación de una imágen mental del fenómeno.
Perdon por la extensión-
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